Regola della Potenza nella Differenziazione per trovare le Derivate

Cos’è la Regola della Potenza?

La Regola della Potenza è una regola utilizzata in calcolo per differenziare funzioni in cui una variabile è elevata a una potenza, come x5. Rende più facile trovare la derivata dei polinomi e di altre funzioni con termini di potenza. La regola della potenza afferma che per trovare la derivata di una variabile elevata a una potenza costante, si moltiplica la potenza per il coefficiente e poi si diminuisce la potenza di uno.

Formula della Regola della Potenza e Definizione Formale

La formula della Regola della Potenza è la seguente:

ddx(xn)=nxn1

Per una funzione f(x)=xn, dove n è un numero reale, la derivata di f(x) rispetto a x è data da:

f(x)=ddx(xn)=nxn1

Applicazione della Regola della Potenza

La Regola della Potenza viene utilizzata quando è necessario trovare la derivata di una funzione che coinvolge una variabile elevata a una potenza costante. Questa regola è particolarmente utile per differenziare i polinomi, che sono somme di termini con potenze diverse della variabile.

Ad esempio, per trovare la derivata di f(x)=x3, si applica la Regola della Potenza:

f(x)=ddx(x3)=3x31=3x2

Dimostrazione Matematica

Esistono diversi modi per dimostrare la Regola della Potenza, incluso l’uso dell’induzione matematica, del teorema binomiale e della definizione di derivata.

Dimostrazione della Regola della Potenza Usando l’Induzione Matematica

Possiamo dimostrare la Regola della Potenza usando l’induzione matematica per esponenti interi positivi.

  1. Caso base: Per n=1, abbiamo f(x)=x1=x. Usando la definizione di derivata, otteniamo:

    f(x)&=limh0f(x+h)f(x)h[2ex]&=limh0(x+h)xh[2ex]&=limh0hh[2ex]&=1

    Questo corrisponde alla formula della Regola della Potenza: ddx(x1)=1x11=1x0=1.

  2. Passo induttivo: Supponiamo che la Regola della Potenza valga per n=k, cioè ddx(xk)=kxk1. Dobbiamo dimostrare che vale anche per n=k+1.

    Sia f(x)=xk+1. Usando la regola del prodotto, otteniamo:

    f(x)=ddx(x·xk)=x·ddx(xk)+xk·ddx(x)

    Per l’ipotesi induttiva e il fatto che ddx(x)=1, abbiamo:

    f(x)=x·kxk1+xk·1=kxk+xk=(k+1)xk

    Questo corrisponde alla formula della Regola della Potenza per n=k+1: ddx(xk+1)=(k+1)x(k+1)1=(k+1)xk.

Quindi, per induzione matematica, la Regola della Potenza vale per tutti gli esponenti interi positivi.

Dimostrazione della Formula della Regola della Potenza per Interi Negativi

Per dimostrare la Regola della Potenza per esponenti interi negativi, possiamo usare il fatto che xn=1xn e la Regola della Potenza per esponenti interi positivi.

Sia f(x)=xn, dove n è un intero positivo. Usando la regola del quoziente, otteniamo:

f(x)=ddx(1xn)=xn·ddx(1)1·ddx(xn)(xn)2

Dato che ddx(1)=0 e ddx(xn)=nxn1 (secondo la Regola della Potenza per esponenti interi positivi), abbiamo:

f(x)=01·nxn1(xn)2=nxn1x2n=nxn1

Questo corrisponde alla formula della Regola della Potenza per esponenti interi negativi: ddx(xn)=nxn1.

Altre Regole della Potenza nel Calcolo

Regola della Potenza per Esponenti: (xm)n = xmn

Questa regola afferma che quando si eleva una potenza a un’altra potenza, si possono moltiplicare gli esponenti. Ad esempio:

(x2)3=x2·3=x6

Regola della Potenza per i Logaritmi

La Regola della Potenza per i Logaritmi afferma che il logaritmo di una variabile elevata a una potenza è uguale alla potenza moltiplicata per il logaritmo della variabile. In altre parole:

logb(xn)=nlogb(x)

Ad esempio:

log2(x3)=3log2(x)