
Cos’è la Regola della Potenza?
La Regola della Potenza è una regola utilizzata in calcolo per differenziare funzioni in cui una variabile è elevata a una potenza, come . Rende più facile trovare la derivata dei polinomi e di altre funzioni con termini di potenza. La regola della potenza afferma che per trovare la derivata di una variabile elevata a una potenza costante, si moltiplica la potenza per il coefficiente e poi si diminuisce la potenza di uno.
Formula della Regola della Potenza e Definizione Formale
La formula della Regola della Potenza è la seguente:
Per una funzione , dove è un numero reale, la derivata di rispetto a è data da:
Applicazione della Regola della Potenza
La Regola della Potenza viene utilizzata quando è necessario trovare la derivata di una funzione che coinvolge una variabile elevata a una potenza costante. Questa regola è particolarmente utile per differenziare i polinomi, che sono somme di termini con potenze diverse della variabile.
Ad esempio, per trovare la derivata di , si applica la Regola della Potenza:
Dimostrazione Matematica
Esistono diversi modi per dimostrare la Regola della Potenza, incluso l’uso dell’induzione matematica, del teorema binomiale e della definizione di derivata.
Dimostrazione della Regola della Potenza Usando l’Induzione Matematica
Possiamo dimostrare la Regola della Potenza usando l’induzione matematica per esponenti interi positivi.
Caso base: Per , abbiamo . Usando la definizione di derivata, otteniamo:
Questo corrisponde alla formula della Regola della Potenza: .
Passo induttivo: Supponiamo che la Regola della Potenza valga per , cioè . Dobbiamo dimostrare che vale anche per .
Sia . Usando la regola del prodotto, otteniamo:
Per l’ipotesi induttiva e il fatto che , abbiamo:
Questo corrisponde alla formula della Regola della Potenza per : .
Quindi, per induzione matematica, la Regola della Potenza vale per tutti gli esponenti interi positivi.
Dimostrazione della Formula della Regola della Potenza per Interi Negativi
Per dimostrare la Regola della Potenza per esponenti interi negativi, possiamo usare il fatto che e la Regola della Potenza per esponenti interi positivi.
Sia , dove è un intero positivo. Usando la regola del quoziente, otteniamo:
Dato che e (secondo la Regola della Potenza per esponenti interi positivi), abbiamo:
Questo corrisponde alla formula della Regola della Potenza per esponenti interi negativi: .
Altre Regole della Potenza nel Calcolo
Regola della Potenza per Esponenti: =
Questa regola afferma che quando si eleva una potenza a un’altra potenza, si possono moltiplicare gli esponenti. Ad esempio:
Regola della Potenza per i Logaritmi
La Regola della Potenza per i Logaritmi afferma che il logaritmo di una variabile elevata a una potenza è uguale alla potenza moltiplicata per il logaritmo della variabile. In altre parole:
Ad esempio: