Regola della Costante per trovare le Derivate

La Regola della Costante è una regola di derivazione utilizzata per trovare la derivata di una funzione costante. Una funzione costante è una funzione che restituisce sempre lo stesso valore, indipendentemente dall’input. In altre parole, il grafico di una funzione costante è una linea orizzontale. La Regola della Costante afferma che la derivata di una funzione costante è sempre zero.

Formula della Regola della Costante e Definizione Formale

La formula della Regola della Costante è la seguente:

ddx(c)=0

Sia c una costante. Se f(x)=c, allora la derivata di f(x) rispetto a x è data da:

f(x)=ddx(c)=0

Derivazione della Regola della Costante

Per capire perché la Regola della Costante funziona, deriviamola usando la definizione di limite della derivata. Data una funzione costante f(x)=c, abbiamo:

f(x)=limh0f(x+h)f(x)h

Poiché f(x)=c e f(x+h)=c (la funzione restituisce sempre lo stesso valore), possiamo sostituirli nella definizione del limite:

f(x)=limh0cch=limh00h=limh00=0

Quindi abbiamo dimostrato che la derivata di una funzione costante è sempre zero.

Significato della Regola della Costante

La Regola della Costante è un ottimo modo per capire il comportamento di funzioni più complesse. È molto utile per capire se una funzione polinomiale o razionale è costante o basata su potenza (ad esempio, g(x)=xn, dove n è un intero positivo).

Capendo che la derivata di un termine costante è sempre zero, possiamo rendere il processo di trovare le derivate di queste funzioni più complesse molto più semplice. Diamo un’occhiata a un esempio. Quando deriviamo un polinomio, la Regola della Costante ci aiuta a concentrarci sui termini non costanti. Questo perché la derivata del termine costante sarà sempre zero.

Esempio: Applicazione della Regola della Costante

Consideriamo la funzione f(x)=5x3+2x7.

Per trovare la derivata di questa funzione, possiamo applicare la Regola della Costante al termine costante e la Regola della Potenza ai termini non costanti:

f(x)=ddx(5x3)+ddx(2x)ddx(7)

Usando la Regola della Potenza per i primi due termini e la Regola della Costante per l’ultimo termine, otteniamo:

f(x)=15x2+20=15x2+2

Quindi, la derivata di f(x)=5x3+2x7 è f(x)=15x2+2.