Regola della Catena per trovare le Derivate

La regola della catena è una regola di differenziazione utilizzata per trovare la derivata di una funzione composta. Una funzione composta è una funzione che può essere scritta come la composizione di due o più funzioni, ad esempio $f(g(x))$. La regola della catena ci consente di scomporre la derivata della funzione composta nelle derivate delle sue funzioni interna ed esterna.

Cos’è una Funzione Composta?

Una funzione composta è una funzione che si forma combinando due o più funzioni, dove l’output di una funzione diventa l’input della funzione successiva. Se $f$ e $g$ sono due funzioni, allora la funzione composta $h(x)=f(g(x))$ è la funzione ottenuta applicando $f$ all’output di $g$.

Nella notazione $f(g(x))$:

• $g$ è chiamata la funzione interna
• $f$ è chiamata la funzione esterna

La funzione composta $h(x)$ può essere valutata prima valutando la funzione interna $g(x)$, e poi valutando la funzione esterna $f$ al valore di $g(x)$.

Esempio

Sia $f(x)=x^2$ e $g(x)=3x+1$. Allora la funzione composta $h(x)=f(g(x))$ è:

$h(x)=f(g(x))=(3x+1{)}^2=9x^2+6x+1$

Qui, valutiamo prima $g(x)=3x+1$, e poi eleviamo al quadrato il risultato per ottenere $h(x)$.

Le funzioni composte possono essere più complesse, coinvolgendo multiple funzioni interne ed esterne. Ad esempio, $\sin (\ln (x^2+1))$ è una funzione composta dove:

• La funzione interna è $x^2+1$
• La funzione intermedia è $\ln (x)$
• La funzione esterna è $\sin (x)$

Qui, dovremmo applicare la regola della catena più volte per calcolare la derivata.

Passi per Applicare la Regola della Catena

1. Identificare la funzione composta: Assicurati che la funzione data sia una funzione composta, il che significa che una funzione è annidata all’interno di un’altra.

2. Identificare le funzioni interna ed esterna: Determina quale funzione è la funzione interna (quella che viene valutata per prima) e quale è la funzione esterna (quella che prende come input il risultato della funzione interna).

3. Trovare la derivata della funzione esterna: Differenzia la funzione esterna, trattando la funzione interna come una variabile.

4. Trovare la derivata della funzione interna: Differenzia la funzione interna rispetto alla sua variabile.

5. Moltiplicare le derivate: Moltiplica i risultati dei passaggi 3 e 4.

6. Semplificare il risultato: Se necessario, semplifica l’espressione finale ottenuta dal passaggio 5.

Quando Utilizzare la Regola della Catena

La regola della catena viene utilizzata quando si differenzia una funzione composta della forma $f(g(x))$. Se la funzione composta può essere scritta come una funzione esterna $f$ applicata a una funzione interna $g$, cioè $h(x)=f(g(x))$, allora si applica la regola della catena.

Alcuni esempi comuni in cui la regola della catena è applicabile includono:

• Funzioni elevate a una potenza, ad esempio $(x^2+1{)}^3$
• Funzioni trigonometriche con un input non banale, ad esempio $\sin (x^3)$, $\tan (\sqrt{x})$
• Funzioni esponenziali o logaritmiche con un input non banale, ad esempio $e^{\cos (x)}$, $\ln (x^2+1)$

Esempi

Vediamo un paio di esempi per solidificare la nostra comprensione.

Esempio 1

Trova la derivata di $h(x)=(3x^2+1{)}^5$

Possiamo riscrivere $h$ come una funzione composta: $f(g(x))$ dove $f(x)=x^5$ e $g(x)=3x^2+1$

Applicando la regola della catena:

$h^{\prime }(x)=f^{\prime }(g(x))·g^{\prime }(x)$

$f^{\prime }(x)=5x^4$, quindi $f^{\prime }(g(x))=5(3x^2+1{)}^4$

$g^{\prime }(x)=6x$

Pertanto, $h^{\prime }(x)=5(3x^2+1{)}^4·6x=30x(3x^2+1{)}^4$

Esempio 2

Trova la derivata di $h(x)=\sin (\ln (x))$

Riscrivendo come una funzione composta: $f(x)=\sin (x)$, $g(x)=\ln (x)$

Applicando la regola della catena:

$h^{\prime }(x)=f^{\prime }(g(x))·g^{\prime }(x)$

$f^{\prime }(x)=\cos (x)$, quindi $f^{\prime }(g(x))=\cos (\ln (x))$

$g^{\prime }(x)=\frac{1}{x}$

Pertanto, $h^{\prime }(x)=\cos (\ln (x))·\frac{1}{x}=\frac{\cos (\ln (x))}{x}$