Regola del Quoziente per trovare le Derivate con Esempi Passo-Passo

La Regola del Quoziente ci aiuta a trovare la derivata di una funzione che è il quoziente di altre due funzioni. Si usa quando una funzione è divisa per un’altra. Questo ci permette di derivare queste funzioni complesse considerando le derivate individuali delle due funzioni.

Formula della Regola del Quoziente e Definizione Formale

La formula della Regola del Quoziente è la seguente:

\frac{d}{d x} (\frac{f (x)}{g (x)}) = \frac{g (x) \cdot f^{'} (x) - f (x) \cdot g^{'} (x)}{[g (x)]^{2}}

Per due funzioni derivabili $f (x)$ e $g (x)$ , dove $g (x) \neq 0$ , la derivata del loro quoziente è data da:

\frac{d}{d x} (\frac{f (x)}{g (x)}) = \frac{g (x) \cdot f^{'} (x) - f (x) \cdot g^{'} (x)}{[g (x)]^{2}}

dove $f^{'} (x)$ è la derivata di $f (x)$ e $g^{'} (x)$ è la derivata di $g (x)$ .

Passi per Applicare la Regola del Quoziente

Identifica la funzione numeratore, $f (x)$ , e la funzione denominatore, $g (x)$ .
Trova la derivata della funzione numeratore, $f^{'} (x)$ .
Trova la derivata della funzione denominatore, $g^{'} (x)$ .
Applica la formula della Regola del Quoziente:
$\frac{d}{d x} (\frac{f (x)}{g (x)}) = \frac{g (x) \cdot f^{'} (x) - f (x) \cdot g^{'} (x)}{[g (x)]^{2}}$
Semplifica l’espressione risultante, se necessario.

Ricordare la Regola del Quoziente

Per ricordare facilmente la Regola del Quoziente, puoi usare il mnemonico “Hi-Dee-Ho”:

“Hi” rappresenta la funzione numeratore, $f (x)$ , perché è “in alto”.
“Ho” rappresenta la funzione denominatore, $g (x)$ , perché è “in basso”.
“Dee” rappresenta la derivata della funzione.

La Regola del Quoziente può essere ricordata come:

\frac{Hi}{Ho} = \frac{Ho-Dee-Hi - Hi-Dee-Ho}{Ho-Ho}

che si traduce in:

\frac{g (x) \cdot f^{'} (x) - f (x) \cdot g^{'} (x)}{[g (x)]^{2}}

Esempi

Esempio 1: Derivata di una Frazione

Usiamo la Regola del Quoziente per derivare la funzione $\frac{x^{2} + 1}{x - 1}$ .

Identifica $f (x) = x^{2} + 1$ e $g (x) = x - 1$ .
Trova $f^{'} (x) = 2 x$ e $g^{'} (x) = 1$ .
Applica la Regola del Quoziente:
$\frac{d}{d x} (\frac{x^{2} + 1}{x - 1}) = \frac{(x - 1) \cdot 2 x - (x^{2} + 1) \cdot 1}{(x - 1)^{2}}$
Semplifica:
$\frac{d}{d x} (\frac{x^{2} + 1}{x - 1}) = \frac{2 x^{2} - 2 x - x^{2} - 1}{(x - 1)^{2}} = \frac{x^{2} - 2 x - 1}{(x - 1)^{2}}$

Esempio 2: Errore Comune

È importante notare che la derivata di un quoziente non è (!) uguale al quoziente delle derivate. Ad esempio:

\frac{d}{d x} (\frac{x^{2}}{x}) \neq \frac{\frac{d}{d x} (x^{2})}{\frac{d}{d x} (x)} = \frac{2 x}{1} = 2 x

Invece, usando la Regola del Quoziente:

\frac{d}{d x} (\frac{x^{2}}{x}) = \frac{x \cdot 2 x - x^{2} \cdot 1}{x^{2}} = \frac{2 x^{2} - x^{2}}{x^{2}} = \frac{x^{2}}{x^{2}} = 1

Esempio 3: Tasso di Variazione Istantaeo

Trova il tasso di variazione istantaneo di $f (x) = \frac{x^{2} + 1}{x + 1}$ a $x = 1$ .

Trova $f^{'} (x)$ usando la Regola del Quoziente:
$f^{'} (x) = \frac{(x + 1) \cdot 2 x - (x^{2} + 1) \cdot 1}{(x + 1)^{2}} = \frac{2 x^{2} + 2 x - x^{2} - 1}{(x + 1)^{2}} = \frac{x^{2} + 2 x - 1}{(x + 1)^{2}}$
Valuta $f^{'} (1)$ :
$f^{'} (1) = \frac{1^{2} + 2 (1) - 1}{(1 + 1)^{2}} = \frac{1 + 2 - 1}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

Quindi, il tasso di variazione istantaneo di $f (x)$ a $x = 1$ è $\frac{1}{2}$ .

Relazione con la Regola del Prodotto

La Regola del Quoziente è strettamente correlata alla Regola del Prodotto, che si usa per derivare il prodotto di due funzioni. La principale differenza tra le due regole è che la Regola del Quoziente ha un segno meno nel numeratore, mentre la Regola del Prodotto ha un segno più.

Regola del Prodotto:

\frac{d}{d x} (f (x) \cdot g (x)) = f (x) \cdot g^{'} (x) + g (x) \cdot f^{'} (x)

Regola del Quoziente:

\frac{d}{d x} (\frac{f (x)}{g (x)}) = \frac{g (x) \cdot f^{'} (x) - f (x) \cdot g^{'} (x)}{[g (x)]^{2}}

Anche se queste funzioni sembrano simili, è molto importante usare la regola giusta a seconda che tu stia moltiplicando o dividendo le funzioni.