Regola del Prodotto per trovare le Derivate con Esempi Passo dopo Passo

Quando usiamo il termine prodotto, ci riferiamo effettivamente a due funzioni moltiplicate insieme. La Regola del Prodotto è una delle regole di derivazione in calcolo che ci permette di trovare la derivata del prodotto di due o più funzioni derivabili. Questa regola è molto utile quando vogliamo evitare o non possiamo fare la moltiplicazione prima della derivazione.

In altre parole, la Regola del Prodotto ci permette di trovare la derivata di due funzioni derivabili che vengono moltiplicate insieme combinando la nostra conoscenza sia della Regola della Potenza che della Regola della Somma e Differenza per le derivate.

Formula della Regola del Prodotto e Definizione Formale

La formula della Regola del Prodotto per due funzioni è la seguente:

\frac{d}{d x} (f (x) g (x)) = f (x) \cdot \frac{d}{d x} g (x) + g (x) \cdot \frac{d}{d x} f (x)

Per due funzioni derivabili $f (x)$ e $g (x)$ , la derivata del loro prodotto rispetto a $x$ è data da:

\frac{d}{d x} (f (x) g (x)) = f (x) \cdot \frac{d}{d x} g (x) + g (x) \cdot \frac{d}{d x} f (x)

dove $\frac{d}{d x} f (x)$ è la derivata di $f (x)$ e $\frac{d}{d x} g (x)$ è la derivata di $g (x)$ .

In parole semplici, la regola afferma che la derivata di un prodotto di due funzioni è uguale alla prima funzione moltiplicata per la derivata della seconda funzione, più la seconda funzione moltiplicata per la derivata della prima funzione.

Passi per Applicare la Regola del Prodotto

Identificare le due funzioni moltiplicate insieme, $f (x)$ e $g (x)$ .
Trovare la derivata della prima funzione, $\frac{d}{d x} f (x)$ .
Trovare la derivata della seconda funzione, $\frac{d}{d x} g (x)$ .
Moltiplicare la prima funzione, $f (x)$ , per la derivata della seconda funzione, $\frac{d}{d x} g (x)$ .
Moltiplicare la seconda funzione, $g (x)$ , per la derivata della prima funzione, $\frac{d}{d x} f (x)$ .
Sommare i risultati dei passi 4 e 5 per ottenere la derivata del prodotto.

Errori Comuni nell’Uso della Regola del Prodotto

È essenziale notare che la derivata di un prodotto non è (!) uguale al prodotto delle derivate. In altre parole:

\frac{d}{d x} (f (x) g (x)) \neq \frac{d}{d x} f (x) \cdot \frac{d}{d x} g (x)

Questo è qualcosa che gli studenti spesso confondono quando imparano per la prima volta la regola del prodotto. Per assicurarsi di non commettere questo errore, ricordate sempre di moltiplicare ciascuna funzione per la derivata dell’altra funzione, quindi sommare i due risultati.

Esempi

Esempio 1: Funzione Binomiale

Troviamo la derivata della seguente funzione usando la Regola del Prodotto:

h (x) = (3 x^{2} + 2) (4 x - 1)

Usando il codice colore per renderlo più facile da seguire:

$f (x) = 3 x^{2} + 2$ (blu)
$g (x) = 4 x - 1$ (rosso)

Applicando la Regola del Prodotto:

\begin{matrix} \frac{d}{d x} h (x) & = (3 x^{2} + 2) \cdot \frac{d}{d x} (4 x - 1) + (4 x - 1) \cdot \frac{d}{d x} (3 x^{2} + 2) & = (3 x^{2} + 2) \cdot 4 + (4 x - 1) \cdot 6 x & = 12 x^{2} + 8 + 24 x^{2} - 6 x & = 36 x^{2} - 6 x + 8 \end{matrix}

Esempio 2: Tasso di Variazione Istantaneo

Supponiamo di voler trovare la derivata di $h (x) = (2 x^{3} + 1) (5 x - 3)$ quando $x = 1$ .

Per prima cosa, useremo la Regola del Prodotto per trovare la derivata:

\begin{matrix} \frac{d}{d x} h (x) & = (2 x^{3} + 1) \cdot \frac{d}{d x} (5 x - 3) + (5 x - 3) \cdot \frac{d}{d x} (2 x^{3} + 1) \\ = (2 x^{3} + 1) \cdot 5 + (5 x - 3) \cdot 6 x^{2} \\ = 10 x^{3} + 5 + 30 x^{3} - 18 x^{2} \\ = 40 x^{3} - 18 x^{2} + 5 \end{matrix}

Ora, troveremo il valore della derivata quando $x = 1$ :

\begin{matrix} \frac{d}{d x} h (1) & = 40 (1)^{3} - 18 (1)^{2} + 5 \\ = 40 - 18 + 5 \\ = 27 \end{matrix}

Quindi, il tasso di variazione istantaneo di $h (x)$ a $x = 1$ è 27.

Esempio 3: Funzioni Trigonometriche

Troviamo la derivata di $f (x) = \sin (x) \cdot \cos (x)$ usando la Regola del Prodotto.

\begin{matrix} \frac{d}{d x} f (x) & = \sin (x) \cdot \frac{d}{d x} \cos (x) + \cos (x) \cdot \frac{d}{d x} \sin (x) \\ = \sin (x) \cdot (- \sin (x)) + \cos (x) \cdot \cos (x) \\ = - \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) \end{matrix}

Una breve nota per dire che copriremo le derivate delle funzioni trigonometriche in una lezione separata. Sono sicuro che troverete questo esempio molto utile per mostrarvi quanto possa essere utile la Regola del Prodotto quando si lavora con funzioni completamente non correlate, come le funzioni trigonometriche.

Esempio 4: Più di Due Funzioni

La Regola del Prodotto può essere estesa per trovare la derivata del prodotto di più di due funzioni. Per tre funzioni, la formula diventa:

\begin{matrix} \frac{d}{d x} (f (x) g (x) h (x)) & = f (x) g (x) \cdot \frac{d}{d x} h (x) + f (x) h (x) \cdot \frac{d}{d x} g (x) + g (x) h (x) \cdot \frac{d}{d x} f (x) \end{matrix}

Questo schema può essere esteso per trovare la derivata del prodotto di un qualsiasi numero di funzioni. Ad esempio, troviamo la derivata di $f (x) = (x^{2} + 1) (2 x - 3) (3 x + 4)$ .

Usando la Regola del Prodotto estesa:

$\begin{matrix} \frac{d}{d x} f (x) & = (x^{2} + 1) (2 x - 3) \cdot \frac{d}{d x} (3 x + 4) + (x^{2} + 1) (3 x + 4) \cdot \frac{d}{d x} (2 x - 3) + (2 x - 3) (3 x + 4) \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} + 1) \ < / p > < p > & = (x^{2} + 1) (2 x - 3) \cdot 3 + (x^{2} + 1) (3 x + 4) \cdot 2 + (2 x - 3) (3 x + 4) \cdot 2 x \ & = 3 (x^{2} + 1) (2 x - 3) + 2 (x^{2} + 1) (3 x + 4) + 2 x (2 x - 3) (3 x + 4) \end{matrix}$

Il risultato può essere ulteriormente semplificato espandendo i termini e combinando i termini simili.