
La Regola del Moltiplicatore Costante, nota anche come Regola del Coefficiente Costante, è una regola del calcolo differenziale utilizzata per derivare funzioni che sono moltiplicate per una costante. Questa regola semplifica il processo di trovare le derivate per funzioni che coinvolgono multipli costanti. La Regola del Moltiplicatore Costante afferma che la derivata di una costante moltiplicata per una funzione è uguale alla costante moltiplicata per la derivata della funzione.
Formula e Definizione Formale della Regola del Moltiplicatore Costante
La formula della Regola del Moltiplicatore Costante è la seguente:
dove è una costante e è una funzione di .
Per una funzione , dove è una costante e è una funzione di , la derivata di rispetto a è data da:
Comprensione Intuitiva della Regola del Moltiplicatore Costante
Per comprendere intuitivamente la Regola del Moltiplicatore Costante, consideriamo il seguente esempio. Sia (tracciato in arancione sotto), e moltiplichiamo questa funzione per una costante per ottenere (in blu sotto).
Se pensiamo al grafico di , avrà la stessa forma del grafico di , ma sarà allungato verticalmente di un fattore di 3. Questo significa che per qualsiasi variazione in , la variazione in sarà 3 volte la variazione in .
Ora, ricordiamo che la derivata di una funzione in un punto è la pendenza della linea tangente al grafico della funzione in quel punto. Poiché il grafico di è allungato verticalmente di un fattore di 3, la pendenza della linea tangente a in qualsiasi punto sarà 3 volte la pendenza della linea tangente a nel punto corrispondente.
Pertanto, la derivata di sarà 3 volte la derivata di , che è esattamente ciò che afferma la Regola del Moltiplicatore Costante.
Passi per Applicare la Regola del Moltiplicatore Costante
Identificare il coefficiente costante: Determinare la costante che moltiplica la funzione .
Trovare la derivata della funzione interna: Calcolare , che è la derivata della funzione moltiplicata per la costante.
Moltiplicare la costante e la derivata: Moltiplicare la costante dal passo 1 e la derivata dal passo 2 per ottenere il risultato finale.
Dimostrazione della Regola del Moltiplicatore Costante
Per dimostrare la Regola del Moltiplicatore Costante, possiamo usare la definizione di derivata:
Passo 1: Sostituire nella definizione di derivata.
Passo 2: Fattorizzare la costante .
Passo 3: Riconoscere che , che è la definizione della derivata di .
Quindi, abbiamo dimostrato che la derivata di una costante moltiplicata per una funzione è uguale alla costante moltiplicata per la derivata della funzione.
Esempi
Trova la derivata di .
Utilizzando la Regola del Moltiplicatore Costante e la Regola della Potenza, otteniamo:
Trova la derivata di .
Utilizzando la Regola del Moltiplicatore Costante e la derivata del seno, otteniamo:
La posizione di una particella è data dalla funzione , dove è misurata in metri e è misurato in secondi. Trova la velocità e l’accelerazione della particella al tempo .
Per trovare la velocità, prendiamo la derivata della funzione di posizione utilizzando la Regola del Moltiplicatore Costante e la Regola della Potenza:
Per trovare l’accelerazione, prendiamo la derivata della funzione di velocità:
Quindi, la velocità della particella è metri al secondo, e la sua accelerazione è metri al secondo quadrato.
Trova la funzione del costo marginale se la funzione del costo totale è data da , dove è il costo totale in dollari e è il numero di unità prodotte.
La funzione del costo marginale è la derivata della funzione del costo totale. Utilizzando la Regola del Moltiplicatore Costante, otteniamo:
Quindi, il costo marginale è costante a € 100 per unità.
Risolvi l’equazione differenziale .
Questa è un’equazione differenziale lineare di secondo ordine con coefficienti costanti. Per risolverla, troviamo prima l’equazione caratteristica sostituendo con , con , e con :
Fattorizzando questa equazione, otteniamo:
Quindi, l’equazione caratteristica ha una radice doppia a . Questo significa che la soluzione generale dell’equazione differenziale è:
dove e sono costanti arbitrarie determinate dalle condizioni iniziali.
Nota che la Regola del Moltiplicatore Costante è stata utilizzata implicitamente quando abbiamo sostituito con , con , e con nell’equazione caratteristica, poiché questo è equivalente a trovare le derivate di e moltiplicarle per i coefficienti costanti.