Derivate delle Funzioni Esponenziali

Una funzione esponenziale è una funzione della forma f(x)=ax, dove a è una costante positiva diversa da 1 e x è una variabile. La derivata di una funzione esponenziale descrive la velocità di variazione della funzione rispetto alla sua variabile.

Formula e Definizione Formale

La derivata di una funzione esponenziale f(x)=ax, dove a>0 e a1, è data da:

f(x)=axln(a)

Per una funzione esponenziale f(x)=ax, dove a>0 e a1, la derivata rispetto a x è:

ddx(ax)=axln(a)

dove ln(a) è il logaritmo naturale di a.

Derivata della Funzione Esponenziale ex

Un caso speciale della funzione esponenziale è f(x)=ex, dove e è il numero di Eulero (approssimativamente 2.71828). La derivata di ex è particolarmente semplice:

f(x)=ex

Questo perché ln(e)=1, quindi:

ddx(ex)=exln(e)=ex·1=ex

La Proprietà Unica della Funzione Esponenziale ex

La funzione esponenziale f(x)=ex ha una proprietà unica: essa è la propria derivata! Ciò significa che la velocità di variazione di ex è uguale alla funzione stessa. In altre parole, la pendenza della linea tangente al grafico di ex in qualsiasi punto è uguale al valore di ex in quel punto.

Questa proprietà rende la funzione esponenziale, ex, davvero speciale. Infatti, è così speciale che è una delle funzioni più importanti nel calcolo e nelle sue applicazioni. È l’unica funzione (a parte un multiplo costante) che ha questa incredibile proprietà! La funzione esponenziale ex appare in molti modelli matematici di fenomeni naturali, come la crescita della popolazione, il decadimento radioattivo e l’interesse composto. Perché? Perché la sua velocità di variazione è direttamente proporzionale al suo valore attuale.

La proprietà unica di ex può essere derivata dalla definizione della funzione esponenziale e dalle proprietà dei logaritmi. Consideriamo la funzione f(x)=ax, dove a>0 e a1. Se impostiamo a=eln(a), possiamo riscrivere la funzione come:

f(x)=(eln(a))x=exln(a)

Usando la regola della catena, possiamo trovare la derivata di questa funzione:

f(x)=exln(a)·ln(a)

Se impostiamo a=e, allora ln(a)=ln(e)=1, e otteniamo:

f(x)=exln(e)·ln(e)=ex·1=ex

Pertanto, la funzione esponenziale f(x)=ex è l’unica funzione esponenziale (a parte un multiplo costante) che è la propria derivata.

Dimostrazione della Derivata di una Funzione Esponenziale

Per dimostrare la derivata di una funzione esponenziale f(x)=ax, possiamo usare la definizione di derivata:

f(x)=limh0f(x+h)f(x)h

Passo 1: Sostituire f(x)=ax nella definizione di derivata.

f(x)=limh0ax+haxh

Passo 2: Riscrivere ax+h come ax·ah.

f(x)=limh0ax·ahaxh

Passo 3: Fattorizzare ax.

f(x)=axlimh0ah1h

Passo 4: Riconoscere che limh0ah1h=ln(a).

f(x)=axln(a)

Pertanto, abbiamo dimostrato che la derivata di una funzione esponenziale f(x)=ax è f(x)=axln(a). Questa dimostrazione si basa sulle proprietà degli esponenziali e dei logaritmi, oltre che sulla definizione di derivata.

Grafico della Derivata di una Funzione Esponenziale

Il grafico di una funzione esponenziale f(x)=ax dipende dal valore di a:

  • Se a>1, la funzione è crescente e il grafico cresce rapidamente.
  • Se 0<a<1, la funzione è decrescente e il grafico si avvicina all’asse x man mano che x aumenta.

Il grafico della derivata di una funzione esponenziale f(x)=axln(a) è simile alla funzione originale, ma è scalato di un fattore di ln(a):

  • Se a>1, allora ln(a)>0, quindi la derivata è positiva e il grafico è crescente.
  • Se 0<a<1, allora ln(a)<0, quindi la derivata è negativa e il grafico è decrescente.

Ecco alcuni esempi di funzioni esponenziali e delle loro derivate:

  • 5x in blu
  • 2x in arancione
  • (12)x in verde

I grafici illustrano la relazione tra una funzione esponenziale e la sua derivata, con le linee continue che rappresentano le funzioni originali e le linee tratteggiate le loro derivate. La derivata di una funzione esponenziale è proporzionale alla funzione originale, dove la costante di proporzionalità è ln(a). Per 0<a<1, la funzione ax decresce man mano che x aumenta, e la sua derivata, che decresce anch’essa, ha un valore negativo perché ln(a) è negativo. Il risultato è che sia la funzione che la sua derivata sono funzioni decrescenti. Al contrario, per a>1, la funzione ax aumenta esponenzialmente e la sua derivata, scalata da ln(a), è positiva e anch’essa crescente.

Un’altra proprietà di tutte

le funzioni esponenziali è che i loro grafici passano per il punto (0, 1), poiché a0=1.

Applicazioni della Derivata delle Funzioni Esponenziali

La derivata delle funzioni esponenziali ha numerose applicazioni in vari campi:

  1. Crescita della popolazione: Le funzioni esponenziali possono modellare la crescita delle popolazioni, e le loro derivate descrivono la velocità di variazione della popolazione nel tempo.

  2. Decadimento radioattivo: Il decadimento delle sostanze radioattive segue una legge esponenziale, e la derivata di questa funzione fornisce la velocità di decadimento in un determinato momento.

  3. Interesse composto: La crescita di un investimento con interesse composto può essere modellata da una funzione esponenziale, e la sua derivata rappresenta la velocità di variazione istantanea del valore dell’investimento.

  4. Raffreddamento e riscaldamento: La legge di raffreddamento di Newton afferma che la velocità di variazione della temperatura di un oggetto è proporzionale alla differenza tra la sua temperatura e la temperatura ambiente, portando a funzioni esponenziali e alle loro derivate.

  5. Reazioni chimiche: Le velocità di molte reazioni chimiche sono descritte da funzioni esponenziali, e le loro derivate forniscono la velocità di variazione istantanea delle concentrazioni di reagenti o prodotti.

Esempi

  1. Trovare la derivata di f(x)=3x+3x2.

    Usando la regola della somma e la regola della catena, otteniamo:

    f(x)=3xln(3)+3x2·2xln(3)
  2. Trovare la derivata di f(x)=ex1+x.

    Usando la regola del quoziente, otteniamo:

    f(x)=ex(1+x)ex(1+x)2=xex(1+x)2
  3. La popolazione di una città sta crescendo esponenzialmente secondo la funzione P(t)=50000·1.03t, dove t è il numero di anni dal 2000. Trovare la velocità di crescita della popolazione nell’anno 2050.

    Prima, troviamo la derivata di P(t):

    P(t)=50000·1.03tln(1.03)

    Poi, calcoliamo la velocità di crescita nel 2050 valutando P(50):

    P(20)=50000·1.0350ln(1.03)6479 persone all'anno