Derivata di tanh(x) - Dimostrazione e Spiegazione

Dimostrazione

Iniziamo definendo $\tanh (x)$ come $\frac{\sinh (x)}{\cosh (x)}$. Per trovare la derivata, usiamo la regola del quoziente, che afferma che la derivata di un quoziente $\frac{u}{v}$ è $\frac{u^{\prime }v-u{v}^{\prime }}{v^2}$.

Qui, sia $u=\sinh (x)$ che $v=\cosh (x)$. Le derivate sono $u^{\prime }=\cosh (x)$ e $v^{\prime }=\sinh (x)$.

Applicando la regola del quoziente, otteniamo:

Questo si semplifica in:

Usando l’identità ${\cosh }^2(x)-{\sinh }^2(x)=1$, otteniamo:

Quindi, la derivata di $\tanh (x)$ è:

Spiegazione

Per comprendere la derivata di $\tanh (x)$, iniziamo riconoscendo che $\tanh (x)$ è definita come il rapporto tra la funzione seno iperbolico $\sinh (x)$ e la funzione coseno iperbolico $\cosh (x)$, quindi $\tanh (x)=\frac{\sinh (x)}{\cosh (x)}$. Questo rappresenta la tangente iperbolica, che è comunemente usata in calcolo e geometria iperbolica.

Per trovare la derivata di $\tanh (x)$, applichiamo la <strong>regola del quoziente</strong>. La regola del quoziente ci aiuta a differenziare le funzioni espresse come il quoziente di due altre funzioni. In particolare, se una funzione è data come $\frac{u}{v}$, la sua derivata è $\frac{u^{\prime }v-u{v}^{\prime }}{v^2}$, dove $u$ e $v$ sono funzioni differenziabili di $x$.

Nel caso di $\tanh (x)$, abbiamo $u=\sinh (x)$ e $v=\cosh (x)$. La derivata di $\sinh (x)$ è $\cosh (x)$, e la derivata di $\cosh (x)$ è $\sinh (x)$.

Applicando la regola del quoziente sostituiamo le derivate:

Il numeratore si semplifica in ${\cosh }^2(x)-{\sinh }^2(x)$. Secondo l’identità iperbolica, ${\cosh }^2(x)-{\sinh }^2(x)=1$. Questo semplifica l’intera espressione in:

L’espressione $\frac{1}{{\cosh }^2(x)}$ è la definizione di ${\text{sech}}^2(x)$, che rappresenta il quadrato della funzione secante iperbolica.

Pertanto, la derivata di $\tanh (x)$ rispetto a $x$ è $\boxed{{\text{sech}}^2(x)}$.

Q.E.D.