Derivata di tanh(x) - Dimostrazione e Spiegazione

Dimostrazione

Iniziamo definendo tanh(x) come sinh(x)cosh(x). Per trovare la derivata, usiamo la regola del quoziente, che afferma che la derivata di un quoziente uv è uvuvv2.

Qui, sia u=sinh(x) che v=cosh(x). Le derivate sono u=cosh(x) e v=sinh(x).

Applicando la regola del quoziente, otteniamo:

ddxtanh(x)=cosh(x)cosh(x)sinh(x)sinh(x)cosh2(x)

Questo si semplifica in:

cosh2(x)sinh2(x)cosh2(x)

Usando l’identità cosh2(x)sinh2(x)=1, otteniamo:

1cosh2(x)=sech2(x)

Quindi, la derivata di tanh(x) è:

sech2(x)

Spiegazione

Per comprendere la derivata di tanh(x), iniziamo riconoscendo che tanh(x) è definita come il rapporto tra la funzione seno iperbolico sinh(x) e la funzione coseno iperbolico cosh(x), quindi tanh(x)=sinh(x)cosh(x). Questo rappresenta la tangente iperbolica, che è comunemente usata in calcolo e geometria iperbolica.

Per trovare la derivata di tanh(x), applichiamo la <strong>regola del quoziente</strong>. La regola del quoziente ci aiuta a differenziare le funzioni espresse come il quoziente di due altre funzioni. In particolare, se una funzione è data come uv, la sua derivata è uvuvv2, dove u e v sono funzioni differenziabili di x.

Nel caso di tanh(x), abbiamo u=sinh(x) e v=cosh(x). La derivata di sinh(x) è cosh(x), e la derivata di cosh(x) è sinh(x).

Applicando la regola del quoziente sostituiamo le derivate:

ddxtanh(x)=cosh(x)cosh(x)sinh(x)sinh(x)cosh2(x)

Il numeratore si semplifica in cosh2(x)sinh2(x). Secondo l’identità iperbolica, cosh2(x)sinh2(x)=1. Questo semplifica l’intera espressione in:

1cosh2(x)

L’espressione 1cosh2(x) è la definizione di sech2(x), che rappresenta il quadrato della funzione secante iperbolica.

Pertanto, la derivata di tanh(x) rispetto a x è sech2(x).

Q.E.D.