Dimostrazione #1
Spiegazione
La dimostrazione inizia con la definizione della funzione tangente:
Successivamente, utilizza le derivate già dimostrate di seno e coseno:
Viene quindi applicata la regola del quoziente per le derivate. Questa regola afferma che per due funzioni e :
In questo caso, e . Applicando la regola del quoziente otteniamo:
Il numeratore viene semplificato usando l’identità trigonometrica standard :
Usando l’identità del punto 4, il numeratore si semplifica a 1:
La dimostrazione è valida solo quando , poiché la divisione per zero è indefinita.
Infine, il risultato segue dal fatto che (la secante è il reciproco del coseno).
Pertanto, la derivata di è .
Dimostrazione #2
Spiegazione
La dimostrazione inizia con la definizione della derivata di una funzione reale in un punto. In questo caso, è la derivata della tangente rispetto a , che è il limite quando si avvicina a di .
Il passaggio successivo utilizza l’identità trigonometrica per la tangente di una somma: . Qui, è e è . Applicando questa identità a , otteniamo: .
Il numeratore viene quindi espanso aggiungendo e sottraendo : .
Il numeratore viene fattorizzato e il denominatore viene moltiplicato per : .
La regola del prodotto per i limiti viene applicata, dividendo il limite nel prodotto di due limiti: .
Il secondo limite è un limite standard: . Nel primo limite, , quindi quando , . Pertanto, il primo limite si valuta a .
Il risultato viene semplificato utilizzando l’identità trigonometrica .
Infine, il risultato viene espresso in termini di coseno utilizzando l’identità ( \sec (x) = \frac{1}{\cos (x
)} ), a condizione che .
Pertanto, la derivata di rispetto a è oppure , a condizione che .