Derivata di tan(x) - Dimostrazione e Spiegazione

Dimostrazione #1

Spiegazione

1. La dimostrazione inizia con la definizione della funzione tangente:

   $\tan x=\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

2. Successivamente, utilizza le derivate già dimostrate di seno e coseno:

   $\frac{d}{dx}\sin (x)=\cos (x)$ $\frac{d}{dx}\cos (x)=-\sin (x)$

3. Viene quindi applicata la regola del quoziente per le derivate. Questa regola afferma che per due funzioni $u(x)$ e $v(x)$:

   $\frac{d}{dx}\left(\frac{u(x)}{v(x)}\right)=\frac{v(x)\frac{d}{dx}u(x)-u(x)\frac{d}{dx}v(x)}{[v(x){]}^2}$

   In questo caso, $u(x)=\sin (x)$ e $v(x)=\cos (x)$. Applicando la regola del quoziente otteniamo:

   $\frac{d}{dx}\tan (x)=\frac{\cos (x)\cos (x)-\sin (x)(-\sin (x))}{{\cos }^2(x)}$

4. Il numeratore viene semplificato usando l’identità trigonometrica standard ${\cos }^2(x)+{\sin }^2(x)=1$:

   $\frac{d}{dx}\tan (x)=\frac{{\cos }^2(x)+{\sin }^2(x)}{{\cos }^2(x)}$

5. Usando l’identità del punto 4, il numeratore si semplifica a 1:

   $\frac{d}{dx}\tan (x)=\frac{1}{{\cos }^2(x)}$

6. La dimostrazione è valida solo quando $\cos (x)\ne 0$, poiché la divisione per zero è indefinita.

7. Infine, il risultato segue dal fatto che $\sec (x)=\frac{1}{\cos (x)}$ (la secante è il reciproco del coseno).

Pertanto, la derivata di $\tan (x)$ è ${\sec }^2(x)$.

Dimostrazione #2

Spiegazione

1. La dimostrazione inizia con la definizione della derivata di una funzione reale in un punto. In questo caso, è la derivata della tangente rispetto a $x$, che è il limite quando $h$ si avvicina a $0$ di $\frac{\tan (x+h)-\tan x}{h}$.

2. Il passaggio successivo utilizza l’identità trigonometrica per la tangente di una somma: $\tan (A+B)=\frac{\tan (A)+\tan (B)}{1-\tan (A)\tan (B)}$. Qui, $A$ è $x$ e $B$ è $h$. Applicando questa identità a $\tan (x+h)$, otteniamo: $\frac{\tan (x)+\tan (h)}{1-\tan (x)\tan (h)}$.

3. Il numeratore viene quindi espanso aggiungendo e sottraendo $\tan (x)$: $\frac{\tan (x)+\tan (h)-\tan (x)+{\tan }^2(x)\tan (h)}{1-\tan (x)\tan (h)}$.

4. Il numeratore viene fattorizzato e il denominatore viene moltiplicato per $h$: $\frac{\tan (h)+{\tan }^2(x)\tan (h)}{h(1-\tan (x)\tan (h))}$.

5. La regola del prodotto per i limiti viene applicata, dividendo il limite nel prodotto di due limiti: ${lim}_{h\to 0}\frac{1+{\tan }^2(x)}{1-\tan (x)\tan (h)}·{lim}_{h\to 0}\frac{\tan (h)}{h}$.

6. Il secondo limite è un limite standard: ${lim}_{h\to 0}\frac{\tan (h)}{h}=1$. Nel primo limite, $\tan (0)=0$, quindi quando $h\to 0$, $\tan (h)\to 0$. Pertanto, il primo limite si valuta a $\frac{1+{\tan }^2(x)}{1-\tan (x)\tan 0}=1+{\tan }^2(x)$.

7. Il risultato viene semplificato utilizzando l’identità trigonometrica $1+{\tan }^2(x)={\sec }^2(x)$.

8. Infine, il risultato viene espresso in termini di coseno utilizzando l’identità ( \sec (x) = \frac{1}{\cos (x

)} ), a condizione che $\cos (x)\ne 0$.

Pertanto, la derivata di $\tan (x)$ rispetto a $x$ è $\boxed{{\sec }^2(x)}$ oppure $\frac{1}{{\cos }^2(x)}$, a condizione che $\cos (x)\ne 0$.