Derivata della Radice Quadrata sqrt(x) - Dimostrazione e Spiegazione

Dimostrazione

1. Definizione di $\sqrt{x}$:

   $$\sqrt{x}=x^{\frac{1}{2}}$$

2. Usando la regola della potenza:

   $$\text{Se }y=x^n,\text{ allora }{y}^{\prime }=n{x}^{n-1}$$

   Sia $n=\frac{1}{2}$:

   $$\frac{\text{d}}{\text{d}x}{x}^{\frac{1}{2}}=\frac{1}{2}{x}^{\frac{1}{2}-1}$$

3. Semplificare l’espressione:

   $$\frac{\text{d}}{\text{d}x}{x}^{\frac{1}{2}}=\frac{1}{2}{x}^{-\frac{1}{2}}$$

4. Riformulare usando la radice quadrata:

   $$x^{-\frac{1}{2}}=\frac{1}{\sqrt{x}}$$

Pertanto, la derivata di $\sqrt{x}$ è:

Spiegazione

Per comprendere la derivata di $\sqrt{x}$, iniziamo esprimendo $\sqrt{x}$ come una potenza di $x$. In particolare, $\sqrt{x}$ può essere scritto come $x^{\frac{1}{2}}$. Questa forma ci permette di usare la regola della potenza per la derivazione.

La regola della potenza afferma che se abbiamo una funzione $x^n$, la sua derivata rispetto a $x$ è $n{x}^{n-1}$. Qui, il nostro esponente $n$ è $\frac{1}{2}$.

Applicando la regola della potenza a $x^{\frac{1}{2}}$, otteniamo:

Successivamente, semplifichiamo l’esponente $\frac{1}{2}-1$, che equivale a $-\frac{1}{2}$. Pertanto, la nostra espressione per la derivata diventa:

Per rendere questa espressione più familiare, riformuliamo $x^{-\frac{1}{2}}$ usando la notazione della radice quadrata. Poiché $x^{-\frac{1}{2}}$ è lo stesso di $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$, e $x^{\frac{1}{2}}$ è $\sqrt{x}$, otteniamo:

Sostituendo questo nella nostra espressione per la derivata, abbiamo:

Pertanto, la derivata di $\sqrt{x}$ rispetto a $x$ è $\boxed{\frac{1}{2\sqrt{x}}}$.

Q.E.D.