Derivata di sinh(x) - Dimostrazione e Spiegazione

Dimostrazione

La funzione seno iperbolico è definita come:

\sinh (x) = \frac{e^{x} - e^{- x}}{2}

Per trovare la derivata, utilizziamo la derivata delle funzioni esponenziali. La derivata di $e^{x}$ è $e^{x}$ , e la derivata di $e^{- x}$ è $- e^{- x}$ .

Ora, derivando $\sinh (x)$ :

\frac{d}{d x} (\frac{e^{x} - e^{- x}}{2}) = \frac{1}{2} (e^{x} - (- e^{- x}))

Questo si semplifica in:

\frac{1}{2} (e^{x} + e^{- x}) = \cosh (x)

Quindi, la derivata di $\sinh (x)$ è:

\frac{d}{d x} \sinh (x) = \cosh (x)

Spiegazione

La funzione seno iperbolico, $\sinh (x)$ , è simile alla funzione seno ma basata sulle funzioni esponenziali. È definita come:

\sinh (x) = \frac{e^{x} - e^{- x}}{2}

Questa espressione rappresenta la differenza tra la crescita esponenziale $e^{x}$ e il decadimento esponenziale $e^{- x}$ , divisa per due.

Per trovare la derivata, deriviamo ogni parte della funzione. La derivata di $e^{x}$ rispetto a $x$ è $e^{x}$ , e la derivata di $e^{- x}$ rispetto a $x$ è $- e^{- x}$ . Questo a causa della regola della catena, dove la derivata di $- x$ è $- 1$ .

Sostituendo queste derivate nella formula per $\sinh (x)$ :

\frac{d}{d x} (\frac{e^{x} - e^{- x}}{2}) = \frac{1}{2} (e^{x} - (- e^{- x}))

Questo si semplifica in:

\frac{1}{2} (e^{x} + e^{- x})

Questa espressione è esattamente la definizione della funzione $\cosh (x)$ , il coseno iperbolico:

\frac{e^{x} + e^{- x}}{2} = \cosh (x)

Q.E.D.