Derivata di sin(x) - Dimostrazione e Spiegazione

Dimostrazione

Spiegazione

1. La dimostrazione inizia affermando la definizione della derivata di una funzione reale in un punto. In questo caso, è la derivata del seno rispetto a $x$, che è il limite quando $h$ tende a $0$ di $\frac{\sin (x+h)-\sin (x)}{h}$.

2. Il passaggio successivo utilizza l’identità trigonometrica per il seno di una somma: $\sin (A+B)=\sin (A)\cos (B)+\cos (A)\sin (B)$. Qui, $A$ è $x$ e $B$ è $h$. Applicando questa identità a $\sin (x+h)$, otteniamo: $\sin (x)\cos (h)+\sin (h)\cos (x)$.

3. Il numeratore viene quindi riorganizzato raccogliendo i termini che contengono $\sin (x)$. Nello specifico, $\sin (x)$ viene raccolto dai termini che lo coinvolgono e $\sin (x)\cos (h)-\sin (x)$ viene raccolto in $\sin (x)(\cos (h)-1)$, e $\sin (h)\cos (x)$ viene lasciato così com’è. Il denominatore $h$ rimane invariato.

4. Il limite viene diviso in due parti utilizzando la regola della somma per i limiti. Questa regola afferma che il limite di una somma è uguale alla somma dei limiti, a condizione che entrambi i limiti esistano. Quindi ora abbiamo due limiti: uno per $\frac{\sin (x)(\cos (h)-1)}{h}$ e un altro per $\frac{\sin (h)\cos (x)}{h}$.

5. Possiamo valutare ciascuno di questi limiti separatamente. Il limite di $\frac{\sin (h)}{h}$ quando $h$ tende a $0$ è uguale a $1$ (questo è un limite standard). Il limite di $\frac{\cos (h)-1}{h}$ quando $h$ tende a $0$ è uguale a $0$ (questo è un altro limite standard). Quando moltiplichiamo questi limiti per $\sin (x)$ e $\cos (x)$ rispettivamente, otteniamo $\sin (x)·0$ e $1·\cos (x)$.

6. Sommando questi insieme secondo la regola della somma per i limiti, otteniamo $0+\cos (x)$, che si semplifica a $\cos (x)$.

QED: Pertanto, la derivata di $\sin (x)$ rispetto a $x$ è $\boxed{\cos (x)}$.