Derivata di sec(x) - Dimostrazione e Spiegazione

Per trovare la derivata di $\sec (x)$ , iniziamo riscrivendola in una forma che potrebbe essere più facile da derivare. Ricorda che:

\sec (x) = \frac{1}{\cos (x)}

Per derivare questa, usiamo la <strong>regola del quoziente</strong>. La regola del quoziente afferma che per due funzioni $u (x)$ e $v (x)$ , la derivata del loro quoziente $\frac{u}{v}$ è data da:

\frac{d}{d x} (\frac{u}{v}) = \frac{v \frac{d u}{d x} - u \frac{d v}{d x}}{v^{2}}

Nel nostro caso:

$u = 1$ (il numeratore)
$v = \cos (x)$ (il denominatore)

Passo 1: Derivare $u$ e $v$

La derivata di $u$ rispetto a $x$ è $0$ perché $u = 1$ – una costante.
La derivata di $v = \cos (x)$ rispetto a $x$ è $- \sin (x)$ .

Passo 2: Applicare la regola del quoziente

Sostituendo questi nella regola del quoziente:

\frac{d}{d x} (\frac{1}{\cos (x)}) = \frac{\cos (x) \cdot 0 - 1 \cdot (- \sin (x))}{\cos^{2} (x)}

Questo si semplifica in:

\frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)}

Passo 3: Semplificare il risultato

Ora, possiamo riscrivere questa espressione in termini di altre funzioni trigonometriche:

\frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)} = \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)} = \tan (x) \cdot \sec (x)

Quindi, la derivata di $\sec (x)$ è:

\sec (x) \cdot \tan (x)

Q.E.D.