Derivata di csc(x) - Dimostrazione e Spiegazione

Dimostrazione

Iniziamo definendo $\csc (x)$ come $\frac{1}{\sin (x)}$ . Per trovare la derivata, usiamo la regola del quoziente, che afferma che la derivata di un quoziente $\frac{u}{v}$ è $\frac{u^{'} v - u v^{'}}{v^{2}}$ .

Qui, poniamo $u = 1$ e $v = \sin (x)$ . La derivata di $u$ rispetto a $x$ è $0$ poiché è una costante, e la derivata di $v = \sin (x)$ è $\cos (x)$ .

Applicando la regola del quoziente otteniamo:

\frac{d}{d x} \csc (x) = \frac{0 \cdot \sin (x) - 1 \cdot \cos (x)}{\sin^{2} (x)} = - \frac{\cos (x)}{\sin^{2} (x)}

Successivamente, semplifichiamo $- \frac{\cos (x)}{\sin^{2} (x)}$ . Questo può essere riscritto come $- \frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ , che si semplifica in $- \csc (x) \cot (x)$ .

Quindi, la derivata di $\csc (x)$ è:

\frac{d}{d x} \csc (x) = - \csc (x) \cdot \cot (x)

Spiegazione

Per comprendere questa derivata, riconosciamo innanzitutto che $\csc (x)$ è il reciproco della funzione seno, definita come $\csc (x) = \frac{1}{\sin (x)}$ . Ciò significa che per qualsiasi angolo $x$ , $\csc (x)$ rappresenta il rapporto tra l’ipotenusa e il lato opposto in un triangolo rettangolo.

Quando si trova la derivata di $\csc (x)$ , utilizziamo la regola del quoziente perché coinvolge la divisione di due funzioni. Secondo la regola del quoziente, la derivata di una funzione espressa come $\frac{u}{v}$ è $\frac{u^{'} v - u v^{'}}{v^{2}}$ , dove $u$ e $v$ sono funzioni di $x$ .

Nel nostro caso, scegliamo $u = 1$ (una funzione costante) e $v = \sin (x)$ . La derivata di una costante $(1)$ è $0$ , e la derivata di $\sin (x)$ è $\cos (x)$ .

Applicando queste derivate nella regola del quoziente otteniamo:

\frac{d}{d x} \csc (x) = \frac{0 \cdot \sin (x) - 1 \cdot \cos (x)}{\sin^{2} (x)}

Questo si semplifica in $- \frac{\cos (x)}{\sin^{2} (x)}$ poiché il termine $0 \cdot \sin (x)$ è zero e $- 1 \cdot \cos (x)$ è $- \cos (x)$ .

Successivamente, semplifichiamo $- \frac{\cos (x)}{\sin^{2} (x)}$ . Può essere espresso come $- \frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ . Qui, $\frac{1}{\sin (x)}$ è la definizione di $\csc (x)$ , e $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ è $\cot (x)$ . Pertanto, l’espressione si semplifica in $- \csc (x) \cot (x)$ .

Pertanto, la derivata di $\csc (x)$ rispetto a $x$ è $- \csc (x) \cdot \cot (x)$ .