Derivata di coth(x) - Dimostrazione e Spiegazione

Dimostrazione

Per trovare la derivata di $\coth (x)$ , iniziamo con la sua definizione:

\coth (x) = \frac{\cosh (x)}{\sinh (x)}

Usando la regola del quoziente, che afferma che la derivata di un quoziente $\frac{u}{v}$ è:

\frac{u^{'} v - u v^{'}}{v^{2}}

Sia $u = \cosh (x)$ e $v = \sinh (x)$ . Le derivate sono $u^{'} = \sinh (x)$ e $v^{'} = \cosh (x)$ .

Applicando la regola del quoziente:

\frac{d}{d x} \coth (x) = \frac{\sinh (x) \cdot \sinh (x) - \cosh (x) \cdot \cosh (x)}{\sinh^{2} (x)}

Semplificando il numeratore:

\sinh^{2} (x) - \cosh^{2} (x) = - 1

Quindi, la derivata diventa:

\frac{- 1}{\sinh^{2} (x)} = - {c s c h}^{2} (x)

Pertanto, la derivata di $\coth (x)$ è:

\frac{d}{d x} \coth (x) = - {c s c h}^{2} (x)

Spiegazione

Per comprendere la derivata di $\coth (x)$ , iniziamo riconoscendo la sua definizione come la funzione cotangente iperbolica, espressa come $\coth (x) = \frac{\cosh (x)}{\sinh (x)}$ . Questa funzione rappresenta il rapporto tra il coseno iperbolico e il seno iperbolico.

Usiamo la regola del quoziente per trovare la derivata di un quoziente di due funzioni. Secondo questa regola, per una funzione $\frac{u}{v}$ , la derivata è $\frac{u^{'} v - u v^{'}}{v^{2}}$ , dove $u$ e $v$ sono entrambe funzioni di $x$ .

Nel caso di $\coth (x)$ , poniamo $u = \cosh (x)$ e $v = \sinh (x)$ . La derivata di $\cosh (x)$ è $\sinh (x)$ , e la derivata di $\sinh (x)$ è $\cosh (x)$ .

Applicando queste derivate nella regola del quoziente, abbiamo:

\frac{d}{d x} \coth (x) = \frac{\sinh (x) \cdot \sinh (x) - \cosh (x) \cdot \cosh (x)}{\sinh^{2} (x)}

Il numeratore si semplifica a $\sinh^{2} (x) - \cosh^{2} (x)$ . Secondo l’identità $\cosh^{2} (x) - \sinh^{2} (x) = 1$ , sappiamo che $\sinh^{2} (x) - \cosh^{2} (x) = - 1$ .

Quindi, l’espressione diventa:

\frac{- 1}{\sinh^{2} (x)}

Dato che $\frac{1}{\sinh^{2} (x)}$ è ${c s c h}^{2} (x)$ , il risultato finale è:

- {c s c h}^{2} (x)

Q.E.D.