Derivata di cot(x) - Dimostrazione e Spiegazione

Dimostrazione

Iniziamo definendo $\cot (x)$ come $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$. Per trovare la derivata, utilizziamo la regola del quoziente, che afferma che la derivata di un quoziente $\frac{u}{v}$ è $\frac{u^{\prime }v-u{v}^{\prime }}{v^2}$.

Sia $u=\cos (x)$ e $v=\sin (x)$. La derivata di $\cos (x)$ è $-\sin (x)$, e la derivata di $\sin (x)$ è $\cos (x)$.

Applicando la regola del quoziente:

Utilizzando l’identità pitagorica ${\sin }^2(x)+{\cos }^2(x)=1$:

Quindi, la derivata di $\cot (x)$ è:

Spiegazione

Per comprendere questa derivata, iniziamo riconoscendo che $\cot (x)$ è definito come $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$, che è il rapporto tra la funzione coseno e la funzione seno. Questo significa che per qualsiasi angolo $x$, $\cot (x)$ dà il rapporto tra il lato adiacente e il lato opposto in un triangolo rettangolo.

Quando si trova la derivata di $\cot (x)$, si usa la regola del quoziente. Questa regola viene utilizzata quando si differenzia un quoziente di due funzioni. Afferma che se si ha una funzione espressa come $\frac{u}{v}$, la derivata è $\frac{u^{\prime }v-u{v}^{\prime }}{v^2}$, dove $u$ e $v$ sono funzioni di $x$.

Qui, scegliamo $u=\cos (x)$ e $v=\sin (x)$. La derivata di $\cos (x)$ rispetto a $x$ è $-\sin (x)$, e la derivata di $\sin (x)$ è $\cos (x)$.

Applicando la regola del quoziente:

Questo si semplifica a $\frac{-{\sin }^2(x)-{\cos }^2(x)}{{\sin }^2(x)}$. Usando l’identità pitagorica ${\sin }^2(x)+{\cos }^2(x)=1$, semplifichiamo il numeratore a $-1$, risultando in:

Questo può essere riscritto come $-{\csc }^2(x)$, poiché $\csc (x)=\frac{1}{\sin (x)}$.

Quindi, la derivata di $\cot (x)$ rispetto a $x$ è $\boxed{-{\csc }^2(x)}$.

Q.E.D.