Derivata di cosh(x) - Dimostrazione e Spiegazione

Dimostrazione

La funzione coseno iperbolico è definita come:

\cosh (x) = \frac{e^{x} + e^{- x}}{2}

Per trovare la derivata, deriviamo usando la regola della somma:

\frac{d}{d x} \cosh (x) = \frac{d}{d x} (\frac{e^{x} + e^{- x}}{2})

Derivando ciascun termine:

\frac{1}{2} (\frac{d}{d x} e^{x} + \frac{d}{d x} e^{- x})

= \frac{1}{2} (e^{x} - e^{- x})

Questo si semplifica in:

\sinh (x)

Quindi, la derivata di $\cosh (x)$ è:

\frac{d}{d x} \cosh (x) = \sinh (x)

Spiegazione

La funzione coseno iperbolico, $\cosh (x)$ , è definita come $\frac{e^{x} + e^{- x}}{2}$ . Questa formula combina le funzioni esponenziali $e^{x}$ e $e^{- x}$ .

Per derivare $\cosh (x)$ , usiamo le regole base della derivazione. La funzione può essere scomposta in $\frac{1}{2} (e^{x} + e^{- x})$ . Qui, $\frac{1}{2}$ è un fattore costante che possiamo estrarre durante la derivazione.

Applichiamo quindi la regola della derivazione a ciascuna parte dell’espressione. La derivata di $e^{x}$ è semplicemente $e^{x}$ , e la derivata di $e^{- x}$ è $- e^{- x}$ a causa della regola della catena.

Mettendo insieme questi risultati, la derivata diventa $\frac{1}{2} (e^{x} - e^{- x}) \ . Q u e s t a e s p r e s s i o n e è l a d e f i n i z i o n e d i \ (\sinh (x)$ , la funzione seno iperbolico. Pertanto, la derivata di cosh(x) è sinh(x).

Q.E.D.