Derivata di cos(x) - Dimostrazione e Spiegazione

Dimostrazione

\frac{d}{d x} \cos x & = {lim}_{h \to 0} \frac{\cos (x + h) - \cos x}{h} [2ex] & = {lim}_{h \to 0} \frac{\cos x \cos h - \sin x \sin h - \cos x}{h} [2ex] & = {lim}_{h \to 0} \frac{\cos x (\cos h - 1) - \sin x \sin h}{h} [2ex] & = \cos x {lim}_{h \to 0} \frac{\cos h - 1}{h} - \sin x {lim}_{h \to 0} \frac{\sin h}{h} [2ex] & = \cos x \cdot 0 - \sin x \cdot 1 [2ex] & = - \sin x

Spiegazione

La dimostrazione inizia affermando la definizione della derivata di una funzione reale in un punto. In questo caso, si tratta della derivata di $\cos (x)$ rispetto a $x$ , che è il limite quando $h$ si avvicina a $0$ di $\frac{\cos (x + h) - \cos (x)}{h}$ .
Il passaggio successivo utilizza l’identità trigonometrica per il coseno di una somma: $\cos (A + B) = \cos (A) \cos (B) - \sin (A) \sin (B)$ . Qui, $A$ è $x$ e $B$ è $h$ . Applicando questa identità a $\cos (x + h)$ , otteniamo: $\cos (x) \cos (h) - \sin (x) \sin (h)$ .
Il numeratore viene quindi riarrangiato separando i termini che coinvolgono $\cos (x)$ e $\sin (x)$ . In particolare, $\cos (x)$ viene messo in evidenza dai termini che lo coinvolgono, e scriviamo l’espressione come $\cos (x) (\cos (h) - 1) - \sin (x) \sin (h)$ . Il denominatore $h$ rimane invariato.
Il limite viene diviso in due parti utilizzando la regola della somma per i limiti. Questa regola afferma che il limite di una somma è uguale alla somma dei limiti, a condizione che entrambi i limiti esistano. Quindi ora abbiamo due limiti: uno per $\frac{\cos (x) (\cos (h) - 1)}{h}$ e un altro per $\frac{- \sin (x) \sin (h)}{h}$ .
Possiamo valutare ciascuno di questi limiti separatamente. Il limite di $\frac{\sin (h)}{h}$ quando $h$ si avvicina a $0$ è uguale a $1$ (questo è un limite standard). Il limite di $\frac{\cos (h) - 1}{h}$ quando $h$ si avvicina a $0$ è uguale a $0$ (questo è un altro limite standard). Quando moltiplichiamo questi limiti rispettivamente per $\cos (x)$ e $- \sin (x)$ , otteniamo $\cos (x) \cdot 0$ e $- \sin (x) \cdot 1$ .
Sommando questi risultati secondo la regola della somma per i limiti, otteniamo $0 - \sin (x)$ , che si semplifica a $- \sin (x)$ .

QED: Pertanto, la derivata di $\cos (x)$ rispetto a $x$ è $- \sin (x)$ .