Derivata di atanh(x) - Dimostrazione e Spiegazione

Dimostrazione

Iniziamo definendo $y = atanh (x)$ , il che significa che $x = \tanh (y)$ .

Definizione e derivazione implicita:
$y = atanh (x) ⟹ x = \tanh (y)$
Derivata di $\tanh (y)$ :
$\frac{d}{d y} \tanh (y) = {sech}^{2} (y)$
Derivata implicita rispetto a $x$ :
$\frac{d x}{d y} = {sech}^{2} (y)$
Reciproco per trovare $\frac{d y}{d x}$ :
$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{{sech}^{2} (y)}$
Semplificazione usando l’identità $sech (y) = \frac{1}{\cosh (y)}$ :
${sech}^{2} (y) = \frac{1}{\cosh^{2} (y)}$
Quindi,
$\frac{d y}{d x} = \cosh^{2} (y)$
Espressione di $\cosh^{2} (y)$ in termini di $x$ : Dall’identità $\cosh^{2} (y) - \sinh^{2} (y) = 1$ e sapendo che $\tanh (y) = x$ , abbiamo $\sinh (y) = x \cosh (y)$ . Quindi,
$\cosh^{2} (y) - x^{2} \cosh^{2} (y) = 1 ⟹ \cosh^{2} (y) (1 - x^{2}) = 1 ⟹ \cosh^{2} (y) = \frac{1}{1 - x^{2}}$

Pertanto,

\frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 - x^{2}}

Quindi, la derivata di $atanh (x)$ è:

\frac{d}{d x} atanh (x) = \frac{1}{1 - x^{2}}

Spiegazione

Per comprendere la derivata di $atanh (x)$ , iniziamo definendo $y = atanh (x)$ , il che significa che $x$ è il tangente iperbolico di $y$ . Questa relazione può essere scritta come $x = \tanh (y)$ .

La funzione $\tanh (y)$ è una funzione iperbolica, simile alle funzioni trigonometriche ma per angoli iperbolici. La sua derivata rispetto a $y$ è ${sech}^{2} (y)$ , dove $sech (y)$ è il secante iperbolico, definito come $\frac{1}{\cosh (y)}$ .

Usando la derivata implicita, deriviamo entrambi i lati di $x = \tanh (y)$ rispetto a $x$ . Questo ci dà:

\frac{d x}{d y} = {sech}^{2} (y)

Per trovare $\frac{d y}{d x}$ , prendiamo il reciproco di $\frac{d x}{d y}$ :

\frac{d y}{d x} = \frac{1}{{sech}^{2} (y)}

Successivamente, semplifichiamo $\frac{1}{{sech}^{2} (y)}$ . Poiché $sech (y) = \frac{1}{\cosh (y)}$ , abbiamo ${sech}^{2} (y) = \frac{1}{\cosh^{2} (y)}$ . Pertanto,

\frac{1}{{sech}^{2} (y)} = \cosh^{2} (y)

Per esprimere $\cosh^{2} (y)$ in termini di $x$ , usiamo l’identità $\cosh^{2} (y) - \sinh^{2} (y) = 1$ . Sapendo che $\tanh (y) = x$ , otteniamo $\sinh (y) = x \cosh (y)$ . Sostituendo questo nell’identità, otteniamo:

\cosh^{2} (y) - x^{2} \cosh^{2} (y) = 1 ⟹ \cosh^{2} (y) (1 - x^{2}) = 1 ⟹ \cosh^{2} (y) = \frac{1}{1 - x^{2}}

Pertanto, la derivata di $atanh (x)$ è:

\frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 - x^{2}}

Q.E.D.