Derivata di atan(x) - Dimostrazione e Spiegazione

Dimostrazione

Vogliamo trovare la derivata di $\arctan (x)$ . Sia $y = \arctan (x)$ . Quindi, per definizione, $x = \tan (y)$ .

Prendiamo la derivata di entrambi i lati rispetto a $x$ :

\frac{d}{d x} (x) = \frac{d}{d x} (\tan (y))

1 = \sec^{2} (y) \cdot \frac{d y}{d x}

Ora, risolviamo per $\frac{d y}{d x}$ :

\frac{d y}{d x} = \frac{1}{\sec^{2} (y)}

Usando l’identità $\sec^{2} (y) = 1 + \tan^{2} (y)$ e sapendo che $\tan (y) = x$ :

\frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 + x^{2}}

Quindi, la derivata di $\arctan (x)$ è:

\frac{d}{d x} \arctan (x) = \frac{1}{1 + x^{2}}

Spiegazione

Per trovare la derivata di $\arctan (x)$ , iniziamo ponendo $y = \arctan (x)$ . Questo significa che $x = \tan (y)$ , che rappresenta l’angolo il cui tangente è $x$ .

Successivamente, deriviamo entrambi i lati dell’equazione $x = \tan (y)$ rispetto a $x$ . La derivata di $x$ rispetto a $x$ è semplicemente $1$ .

Sul lato destro, la derivata di $\tan (y)$ rispetto a $y$ è $\sec^{2} (y)$ , e secondo la regola della catena, moltiplichiamo per $\frac{d y}{d x}$ , il che ci dà $\sec^{2} (y) \cdot \frac{d y}{d x}$ .

Ponendo le derivate uguali, otteniamo:

1 = \sec^{2} (y) \cdot \frac{d y}{d x}

Quindi risolviamo per $\frac{d y}{d x}$ dividendo entrambi i lati per $\sec^{2} (y)$ :

\frac{d y}{d x} = \frac{1}{\sec^{2} (y)}

Usiamo l’identità trigonometrica $\sec^{2} (y) = 1 + \tan^{2} (y)$ . Poiché $\tan (y) = x$ (dalla nostra definizione precedente), sostituiamo $x$ per $\tan (y)$ :

\sec^{2} (y) = 1 + x^{2}

Quindi, l’espressione per la derivata si semplifica a:

\frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 + x^{2}}

Q.E.D.