Derivata di asinh(x) - Dimostrazione e Spiegazione

Dimostrazione

Iniziamo definendo $y = asinh (x)$ . Per definizione, la funzione seno iperbolico inversa significa:

x = \sinh (y)

dove $\sinh (y) = \frac{e^{y} - e^{- y}}{2}$ .

Per trovare la derivata di $asinh (x)$ , deriviamo implicitamente $x = \sinh (y)$ rispetto a $x$ :

1 = \cosh (y) \frac{d y}{d x}

Qui, $\cosh (y)$ è la funzione coseno iperbolico, che è definita come:

\cosh (y) = \frac{e^{y} + e^{- y}}{2}

Riorganizzando per $\frac{d y}{d x}$ , otteniamo:

\frac{d y}{d x} = \frac{1}{\cosh (y)}

Ora dobbiamo esprimere $\cosh (y)$ in termini di $x$ . Usando l’identità $\cosh^{2} (y) - \sinh^{2} (y) = 1$ , otteniamo:

\cosh^{2} (y) = 1 + \sinh^{2} (y)

Poiché $\sinh (y) = x$ , questo diventa:

\cosh^{2} (y) = 1 + x^{2}

Quindi, $\cosh (y) = \sqrt{1 + x^{2}}$ . Sostituendo questo nell’espressione per $\frac{d y}{d x}$ , otteniamo:

\frac{d y}{d x} = \frac{1}{\sqrt{1 + x^{2}}}

Pertanto, la derivata di $asinh (x)$ è:

\frac{d}{d x} asinh (x) = \frac{1}{\sqrt{1 + x^{2}}}

Spiegazione

Per comprendere questa derivata, dobbiamo prima riconoscere che $asinh (x)$ è la funzione seno iperbolico inversa, il che significa che se $y = asinh (x)$ , allora $x = \sinh (y)$ . La funzione seno iperbolico $\sinh (y)$ è definita come $\frac{e^{y} - e^{- y}}{2}$ .

Per trovare la derivata di $asinh (x)$ , deriviamo l’equazione $x = \sinh (y)$ implicitamente rispetto a $x$ . Derivando entrambi i lati, otteniamo $1 = \cosh (y) \frac{d y}{d x}$ , dove $\cosh (y)$ è la funzione coseno iperbolico definita come $\frac{e^{y} + e^{- y}}{2}$ .

Risolvendo per $\frac{d y}{d x}$ , abbiamo $\frac{d y}{d x} = \frac{1}{\cosh (y)}$ . Successivamente, dobbiamo esprimere $\cosh (y)$ in termini di $x$ . Usando l’identità $\cosh^{2} (y) - \sinh^{2} (y) = 1$ , sostituiamo $\sinh (y) = x$ , ottenendo $\cosh^{2} (y) = 1 + x^{2}$ . Questo significa $\cosh (y) = \sqrt{1 + x^{2}}$ .

Sostituendo $\cosh (y) = \sqrt{1 + x^{2}}$ di nuovo nella nostra espressione per $\frac{d y}{d x}$ , troviamo $\frac{d y}{d x} = \frac{1}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ . Pertanto, la derivata di $asinh (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ .

Q.E.D.