Derivata di asin(x) - Dimostrazione e Spiegazione

Per trovare la derivata di $\arcsin (x)$, iniziamo ponendo:

Questo implica che:

Passo 1: Differenziare entrambi i lati

Differenziando $\sin (y)=x$ rispetto a $x$, applichiamo la differenziazione implicita:

Qui, $\cos (y)$ è la derivata di $\sin (y)$ rispetto a $y$, e $\frac{dy}{dx}$ è la derivata di $y$ rispetto a $x$.

Passo 2: Risolvere per $\frac{dy}{dx}$

Riordinare l’equazione per risolvere la derivata:

Passo 3: Esprimere $\cos (y)$ in termini di $x$

Usiamo l’identità pitagorica:

Prendendo la radice quadrata:

Poiché $\sin (y)=x$, sostituiamo:

Passo 4: Derivata finale

Sostituendo $\cos (y)$ nell’espressione per $\frac{dy}{dx}$:

Pertanto, la derivata di $\arcsin (x)$ è:

Q.E.D.