Derivata di abs(x) - Dimostrazione e Spiegazione

Dimostrazione

Iniziamo definendo la funzione valore assoluto, $\left|x\right|$, come una funzione a tratti:

Per trovare la derivata, deriviamo ciascun pezzo separatamente:

1. Per $x\ge 0$:

   $$\frac{\text{d}}{\text{d}x}(x)=1$$

2. Per $x<0$:

   $$\frac{\text{d}}{\text{d}x}(-x)=-1$$

Combinando questi risultati, otteniamo:

A $x=0$, la funzione $\left|x\right|$ è continua, ma la sua derivata non è definita perché il limite sinistro ($-1$) e il limite destro ($1$) non sono uguali.

Un altro modo di esprimere la derivata di $\left|x\right|$ è usando la funzione $\frac{x}{\left|x\right|}$. Questa funzione è definita come:

Quindi, la derivata di $\left|x\right|$ è:

Spiegazione

Per comprendere la derivata della funzione valore assoluto $\left|x\right|$, analizziamola passo per passo.

La funzione valore assoluto $\left|x\right|$ è definita diversamente per valori positivi e negativi di $x$. In particolare:

Questo significa che per qualsiasi valore non negativo di $x$ (incluso zero), $\left|x\right|$ è semplicemente $x$, e per qualsiasi valore negativo di $x$, $\left|x\right|$ è $-x$.

Per trovare la derivata di $\left|x\right|$, dobbiamo considerare questi due casi separatamente:

1. Quando $x\ge 0$, la funzione $\left|x\right|$ è uguale a $x$. La derivata di $x$ rispetto a $x$ è $1$.

2. Quando $x<0$, la funzione $\left|x\right|$ è uguale a $-x$. La derivata di $-x$ rispetto a $x$ è $-1$.

Unendo questi due risultati, otteniamo:

A $x=0$, la situazione è diversa. La funzione $\left|x\right|$ è continua a $x=0$, ma la sua derivata non è definita. Questo perché il limite sinistro della derivata quando $x$ si avvicina a 0 dal lato negativo è $-1$, e il limite destro quando $x$ si avvicina a 0 dal lato positivo è $1$. Poiché questi due limiti non sono uguali, la derivata a $x=0$ non esiste.

Un altro modo per esprimere questa derivata in modo più compatto è usando la funzione $\frac{x}{\left|x\right|}$. Questa funzione ci dà il segno di $x$:

A $x=0$, questa espressione è indefinita perché non possiamo dividere per zero. Pertanto, la derivata di $\left|x\right|$ può essere scritta come:

Quindi, la derivata della funzione valore assoluto $\left|x\right|$ è $\frac{x}{\left|x\right|}$, che è $1$ per $x$ positivo, $-1$ per $x$ negativo e indefinita a $x=0$.

Q.E.D.