Règle du Quotient pour trouver les Dérivées avec des Exemples Étape par Étape

La règle du quotient nous aide à trouver la dérivée d’une fonction qui est le quotient de deux autres fonctions. Elle est utilisée lorsqu’une fonction est divisée par une autre. Cela nous permet de différencier ces fonctions complexes en considérant les dérivées individuelles des deux fonctions.

Formule de la Règle du Quotient et Définition Formelle

La formule de la règle du quotient est la suivante :

\frac{d}{d x} (\frac{f (x)}{g (x)}) = \frac{g (x) \cdot f^{'} (x) - f (x) \cdot g^{'} (x)}{[g (x)]^{2}}

Pour deux fonctions différentiables $f (x)$ et $g (x)$ , où $g (x) \neq 0$ , la dérivée de leur quotient est donnée par :

\frac{d}{d x} (\frac{f (x)}{g (x)}) = \frac{g (x) \cdot f^{'} (x) - f (x) \cdot g^{'} (x)}{[g (x)]^{2}}

où $f^{'} (x)$ est la dérivée de $f (x)$ et $g^{'} (x)$ est la dérivée de $g (x)$ .

Étapes pour Appliquer la Règle du Quotient

Identifier la fonction numérateur, $f (x)$ , et la fonction dénominateur, $g (x)$ .
Trouver la dérivée de la fonction numérateur, $f^{'} (x)$ .
Trouver la dérivée de la fonction dénominateur, $g^{'} (x)$ .
Appliquer la formule de la règle du quotient :
$\frac{d}{d x} (\frac{f (x)}{g (x)}) = \frac{g (x) \cdot f^{'} (x) - f (x) \cdot g^{'} (x)}{[g (x)]^{2}}$
Simplifier l’expression résultante, si nécessaire.

Mémoriser la Règle du Quotient

Pour se souvenir facilement de la règle du quotient, vous pouvez utiliser le moyen mnémotechnique “Hi-Dee-Ho” :

“Hi” représente la fonction numérateur, $f (x)$ , car elle est “haut”.
“Ho” représente la fonction dénominateur, $g (x)$ , car elle est “bas”.
“Dee” représente la dérivée de la fonction.

La règle du quotient peut être mémorisée comme :

\frac{Hi}{Ho} = \frac{Ho-Dee-Hi - Hi-Dee-Ho}{Ho-Ho}

ce qui se traduit par :

\frac{g (x) \cdot f^{'} (x) - f (x) \cdot g^{'} (x)}{[g (x)]^{2}}

Exemples

Exemple 1 : Dérivée d’une Fraction

Utilisons la règle du quotient pour différencier la fonction $\frac{x^{2} + 1}{x - 1}$ .

Identifier $f (x) = x^{2} + 1$ et $g (x) = x - 1$ .
Trouver $f^{'} (x) = 2 x$ et $g^{'} (x) = 1$ .
Appliquer la règle du quotient :
$\frac{d}{d x} (\frac{x^{2} + 1}{x - 1}) = \frac{(x - 1) \cdot 2 x - (x^{2} + 1) \cdot 1}{(x - 1)^{2}}$
Simplifier :
$\frac{d}{d x} (\frac{x^{2} + 1}{x - 1}) = \frac{2 x^{2} - 2 x - x^{2} - 1}{(x - 1)^{2}} = \frac{x^{2} - 2 x - 1}{(x - 1)^{2}}$

Exemple 2 : Erreur Courante

Il est important de noter que la dérivée d’un quotient n’est pas égale au quotient des dérivées. Par exemple :

\frac{d}{d x} (\frac{x^{2}}{x}) \neq \frac{\frac{d}{d x} (x^{2})}{\frac{d}{d x} (x)} = \frac{2 x}{1} = 2 x

Au lieu de cela, en utilisant la règle du quotient :

\frac{d}{d x} (\frac{x^{2}}{x}) = \frac{x \cdot 2 x - x^{2} \cdot 1}{x^{2}} = \frac{2 x^{2} - x^{2}}{x^{2}} = \frac{x^{2}}{x^{2}} = 1

Exemple 3 : Taux de Changement Instantané

Trouver le taux de changement instantané de $f (x) = \frac{x^{2} + 1}{x + 1}$ à $x = 1$ .

Trouver $f^{'} (x)$ en utilisant la règle du quotient :
$f^{'} (x) = \frac{(x + 1) \cdot 2 x - (x^{2} + 1) \cdot 1}{(x + 1)^{2}} = \frac{2 x^{2} + 2 x - x^{2} - 1}{(x + 1)^{2}} = \frac{x^{2} + 2 x - 1}{(x + 1)^{2}}$
Évaluer $f^{'} (1)$ :
$f^{'} (1) = \frac{1^{2} + 2 (1) - 1}{(1 + 1)^{2}} = \frac{1 + 2 - 1}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

Ainsi, le taux de changement instantané de $f (x)$ à $x = 1$ est $\frac{1}{2}$ .

Relation avec la Règle du Produit

La règle du quotient est étroitement liée à la règle du produit, qui est utilisée pour différencier le produit de deux fonctions. La principale différence entre les deux règles est que la règle du quotient a un signe moins dans le numérateur, tandis que la règle du produit a un signe plus.

Règle du Produit :

\frac{d}{d x} (f (x) \cdot g (x)) = f (x) \cdot g^{'} (x) + g (x) \cdot f^{'} (x)

Règle du Quotient :

\frac{d}{d x} (\frac{f (x)}{g (x)}) = \frac{g (x) \cdot f^{'} (x) - f (x) \cdot g^{'} (x)}{[g (x)]^{2}}

Même si ces fonctions se ressemblent, il est très important d’utiliser la bonne règle en fonction de si vous les multipliez ou les divisez.

Règle du Quotient en Différentiation