Règle du Produit pour trouver les Dérivées avec des Exemples Étape par Étape

Lorsque nous utilisons le terme produit, nous faisons en réalité référence à deux fonctions multipliées ensemble. La Règle du Produit est l’une des règles de différentiation en calcul qui nous permet de trouver la dérivée du produit de deux ou plusieurs fonctions différentiables. Cette règle est très utile lorsque nous voulons éviter ou ne pouvons pas faire la multiplication avant la différentiation.

En d’autres termes, la Règle du Produit nous permet de trouver la dérivée de deux fonctions différentiables qui sont multipliées ensemble en combinant notre connaissance de la Règle de Puissance et de la Règle de la Somme et de la Différence pour les dérivées.

Formule de la Règle du Produit et Définition Formelle

La formule de la Règle du Produit pour deux fonctions est la suivante :

\frac{d}{d x} (f (x) g (x)) = f (x) \cdot \frac{d}{d x} g (x) + g (x) \cdot \frac{d}{d x} f (x)

Pour deux fonctions différentiables $f (x)$ et $g (x)$ , la dérivée de leur produit par rapport à $x$ est donnée par :

\frac{d}{d x} (f (x) g (x)) = f (x) \cdot \frac{d}{d x} g (x) + g (x) \cdot \frac{d}{d x} f (x)

où $\frac{d}{d x} f (x)$ est la dérivée de $f (x)$ et $\frac{d}{d x} g (x)$ est la dérivée de $g (x)$ .

En termes simples, la règle stipule que la dérivée d’un produit de deux fonctions est égale à la première fonction multipliée par la dérivée de la deuxième fonction, plus la deuxième fonction multipliée par la dérivée de la première fonction.

Étapes pour Appliquer la Règle du Produit

Identifiez les deux fonctions multipliées ensemble, $f (x)$ et $g (x)$ .
Trouvez la dérivée de la première fonction, $\frac{d}{d x} f (x)$ .
Trouvez la dérivée de la deuxième fonction, $\frac{d}{d x} g (x)$ .
Multipliez la première fonction, $f (x)$ , par la dérivée de la deuxième fonction, $\frac{d}{d x} g (x)$ .
Multipliez la deuxième fonction, $g (x)$ , par la dérivée de la première fonction, $\frac{d}{d x} f (x)$ .
Additionnez les résultats des étapes 4 et 5 pour obtenir la dérivée du produit.

Erreurs Courantes en Utilisant la Règle du Produit

Il est essentiel de noter que la dérivée d’un produit n’est pas (!) égale au produit des dérivées. En d’autres termes :

\frac{d}{d x} (f (x) g (x)) \neq \frac{d}{d x} f (x) \cdot \frac{d}{d x} g (x)

C’est quelque chose que les étudiants confondent souvent lorsqu’ils apprennent la règle du produit pour la première fois. Pour vous assurer de ne pas faire cette erreur, rappelez-vous toujours de multiplier chaque fonction par la dérivée de l’autre fonction, puis d’additionner les deux résultats.

Exemples

Exemple 1 : Fonction Binomiale

Trouvez la dérivée de la fonction suivante en utilisant la Règle du Produit :

h (x) = (3 x^{2} + 2) (4 x - 1)

En utilisant des codes couleur pour faciliter le suivi :

$f (x) = 3 x^{2} + 2$ (bleu)
$g (x) = 4 x - 1$ (rouge)

En appliquant la Règle du Produit :

\begin{matrix} \frac{d}{d x} h (x) & = (3 x^{2} + 2) \cdot \frac{d}{d x} (4 x - 1) + (4 x - 1) \cdot \frac{d}{d x} (3 x^{2} + 2) & = (3 x^{2} + 2) \cdot 4 + (4 x - 1) \cdot 6 x & = 12 x^{2} + 8 + 24 x^{2} - 6 x & = 36 x^{2} - 6 x + 8 \end{matrix}

Exemple 2 : Taux de Variation Instantané

Supposons que nous voulions trouver la dérivée de $h (x) = (2 x^{3} + 1) (5 x - 3)$ lorsque $x = 1$ .

D’abord, nous utiliserons la Règle du Produit pour trouver la dérivée :

\begin{matrix} \frac{d}{d x} h (x) & = (2 x^{3} + 1) \cdot \frac{d}{d x} (5 x - 3) + (5 x - 3) \cdot \frac{d}{d x} (2 x^{3} + 1) \\ = (2 x^{3} + 1) \cdot 5 + (5 x - 3) \cdot 6 x^{2} \\ = 10 x^{3} + 5 + 30 x^{3} - 18 x^{2} \\ = 40 x^{3} - 18 x^{2} + 5 \end{matrix}

Maintenant, nous trouverons la valeur de la dérivée lorsque $x = 1$ :

\begin{matrix} \frac{d}{d x} h (1) & = 40 (1)^{3} - 18 (1)^{2} + 5 \\ = 40 - 18 + 5 \\ = 27 \end{matrix}

Ainsi, le taux de variation instantané de $h (x)$ à $x = 1$ est de 27.

Exemple 3 : Fonctions Trigonométriques

Trouvez la dérivée de $f (x) = \sin (x) \cdot \cos (x)$ en utilisant la Règle du Produit.

\begin{matrix} \frac{d}{d x} f (x) & = \sin (x) \cdot \frac{d}{d x} \cos (x) + \cos (x) \cdot \frac{d}{d x} \sin (x) \\ = \sin (x) \cdot (- \sin (x)) + \cos (x) \cdot \cos (x) \\ = - \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) \end{matrix}

Juste une petite note pour dire que nous couvrirons les dérivées des fonctions trigonométriques dans une leçon séparée. Je suis sûr que cet exemple vous sera très utile pour montrer à quel point la Règle du Produit peut être utile lorsque vous travaillez avec des fonctions qui n’ont rien à voir les unes avec les autres, comme les fonctions trigonométriques.

Exemple 4 : Plus de Deux Fonctions

La Règle du Produit peut être étendue pour trouver la dérivée du produit de plus de deux fonctions. Pour trois fonctions, la formule devient :

\begin{matrix} \frac{d}{d x} (f (x) g (x) h (x)) & = f (x) g (x) \cdot \frac{d}{d x} h (x) + f (x) h (x) \cdot \frac{d}{d x} g (x) + g (x) h (x) \cdot \frac{d}{d x} f (x) \end{matrix}

Ce modèle peut être étendu pour trouver la dérivée du produit de n’importe quel nombre de fonctions. Par exemple, trouvons la dérivée de $f (x) = (x^{2} + 1) (2 x - 3) (3 x + 4)$ .

En utilisant la Règle du Produit étendue :

$\begin{matrix} \frac{d}{d x} f (x) & = (x^{2} + 1) (2 x - 3) \cdot \frac{d}{d x} (3 x + 4) + (x^{2} + 1) (3 x + 4) \cdot \frac{d}{d x} (2 x - 3) + (2 x - 3) (3 x + 4) \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} + 1) \ & = (x^{2} + 1) (2 x - 3) \cdot 3 + (x^{2} + 1) (3 x + 4) \cdot 2 + (2 < / p > < p > x - 3) (3 x + 4) \cdot 2 x \ & = 3 (x^{2} + 1) (2 x - 3) + 2 (x^{2} + 1) (3 x + 4) + 2 x (2 x - 3) (3 x + 4) \end{matrix}$

Le résultat peut être encore simplifié en développant les termes et en combinant les termes similaires.

Règle du Produit en Différentiation