Règle du Multiple Constant en Différentiation

La Règle du Multiple Constant, également connue sous le nom de Règle du Coefficient Constant, est une règle en calcul utilisée pour différencier des fonctions multipliées par une constante. Cette règle simplifie le processus de recherche des dérivées pour les fonctions impliquant des multiples constants. La Règle du Multiple Constant stipule que la dérivée d’une constante multipliée par une fonction est égale à la constante multipliée par la dérivée de la fonction.

Formule de la Règle du Multiple Constant et Définition Formelle

La formule de la Règle du Multiple Constant est la suivante :

ddx(cf(x))=c·ddx(f(x))

c est une constante et f(x) est une fonction de x.

Pour une fonction g(x)=c·f(x), où c est une constante et f(x) est une fonction de x, la dérivée de g(x) par rapport à x est donnée par :

g(x)=ddx(c·f(x))=c·ddx(f(x))=c·f(x)

Compréhension Intuitive de la Règle du Multiple Constant

Pour comprendre intuitivement la Règle du Multiple Constant, considérez l’exemple suivant. Soit f(x)=x2 (tracé en orange ci-dessous), et multiplions cette fonction par une constante c=3 pour obtenir c·g(x)=3·(x2)=3x2 (en bleu ci-dessous).

Si nous pensons au graphe de g(x), il aura la même forme que le graphe de f(x), mais il sera étiré verticalement par un facteur de 3. Cela signifie que pour tout changement de x, le changement de g(x) sera 3 fois le changement de f(x).

Rappelez-vous maintenant que la dérivée d’une fonction en un point est la pente de la tangente au graphe de la fonction en ce point. Comme le graphe de g(x) est étiré verticalement par un facteur de 3, la pente de la tangente à g(x) en tout point sera 3 fois la pente de la tangente à f(x) au point correspondant.

Par conséquent, la dérivée de g(x) sera 3 fois la dérivée de f(x), ce qui est exactement ce que stipule la Règle du Multiple Constant.

Étapes pour Appliquer la Règle du Multiple Constant

  1. Identifier le coefficient constant : Déterminez la constante c qui multiplie la fonction f(x).

  2. Trouver la dérivée de la fonction intérieure : Calculez ddx(f(x)), qui est la dérivée de la fonction multipliée par la constante.

  3. Multiplier la constante et la dérivée : Multipliez la constante c de l’étape 1 et la dérivée ddx(f(x)) de l’étape 2 pour obtenir le résultat final.

Preuve de la Règle du Multiple Constant

Pour prouver la Règle du Multiple Constant, nous pouvons utiliser la définition de la dérivée :

g(x)=limh0g(x+h)g(x)h

Étape 1 : Remplacez g(x)=cf(x) dans la définition de la dérivée.

g(x)=limh0c·f(x+h)c·f(x)h

Étape 2 : Facteurisez la constante c.

g(x)=c·limh0f(x+h)f(x)h

Étape 3 : Reconnaissez que limh0f(x+h)f(x)h=f(x), qui est la définition de la dérivée de f(x).

g(x)=c·f(x)

Ainsi, nous avons prouvé que la dérivée d’une constante multipliée par une fonction est égale à la constante multipliée par la dérivée de la fonction.

Exemples

  1. Trouvez la dérivée de f(x)=3x2+5x.

    En utilisant la Règle du Multiple Constant et la Règle de la Puissance, nous obtenons :

    f(x)=3·ddx(x2)+5·ddx(x)=3·2x+5·1=6x+5
  2. Trouvez la dérivée de g(x)=2sin(x).

    En utilisant la Règle du Multiple Constant et la dérivée du sinus, nous obtenons :

    g(x)=2·ddx(sin(x))=2·cos(x)
  3. La position d’une particule est donnée par la fonction s(t)=4t32t, où s est mesurée en mètres et t est mesuré en secondes. Trouvez la vitesse et l’accélération de la particule au temps t.

    Pour trouver la vitesse, nous prenons la dérivée de la fonction de position en utilisant la Règle du Multiple Constant et la Règle de la Puissance:

    v(t)=s(t)=4·ddt(t3)2·ddt(t)=4·3t22·1=12t22

    Pour trouver l’accélération, nous prenons la dérivée de la fonction de vitesse :

    a(t)=v(t)=12·ddt(t2)=12·2t=24t

    Ainsi, la vitesse de la particule est v(t)=12t22 mètres par seconde, et son accélération est a(t)=24t mètres par seconde carrée.

  4. Trouvez la fonction de coût marginal si la fonction de coût total est donnée par C(x)=100x+500, où C(x) est le coût total en dollars et x est le nombre d’unités produites.

    La fonction de coût marginal est la dérivée de la fonction de coût total. En utilisant la Règle du Multiple Constant, nous obtenons :

    MC(x)=C(x)=100·ddx(x)+500·ddx(1)=100·1+500·0=100

    Ainsi, le coût marginal est constant à € 100 par unité.

  5. Résolvez l’équation différentielle y4y+4y=0.

    C’est une équation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constants. Pour la résoudre, nous trouvons d’abord l’équation caractéristique en remplaçant y par r2, y par r, et y par 1 :

    r24r+4=0

    En factorisant cette équation, nous obtenons :

    (r2)2=0

    Ainsi, l’équation caractéristique a une racine double à r=2. Cela signifie que la solution générale de l’équation différentielle est :

    y(x)=(C1+C2x)e2x

    C1 et C2 sont des constantes arbitraires déterminées par les conditions initiales.

    Notez que la Règle du Multiple Constant a été utilisée implicitement lorsque nous avons remplacé y par r2, y par r, et y par 1 dans l’équation caractéristique, car cela équivaut à trouver les dérivées de erx et à les multiplier par les coefficients constants.