Règle de Puissance en Différentiation

Qu’est-ce que la Règle de Puissance ?

La règle de puissance est une règle utilisée en calcul pour différencier les fonctions où une variable est élevée à une puissance, comme $x^5$. Elle facilite la recherche de la dérivée des polynômes et d’autres fonctions avec des termes de puissance. La règle de puissance stipule que pour trouver la dérivée d’une variable élevée à une puissance constante, il faut multiplier la puissance par le coefficient puis diminuer la puissance de un.

Application de la Règle de Puissance

La règle de puissance est utilisée lorsque vous avez besoin de trouver la dérivée d’une fonction qui implique une variable élevée à une puissance constante. Cette règle est particulièrement utile pour différencier les polynômes, qui sont des sommes de termes avec différentes puissances de la variable.

Par exemple, pour trouver la dérivée de $f(x)=x^3$, vous appliqueriez la règle de puissance :

Preuve Mathématique

Il existe plusieurs façons de prouver la règle de puissance, y compris en utilisant l’induction mathématique, le théorème binomial et la définition de la dérivée.

Preuve de la Règle de Puissance en Utilisant l’Induction Mathématique

Nous pouvons prouver la règle de puissance en utilisant l’induction mathématique pour les exposants entiers positifs.

1. Cas de base : Pour $n=1$, nous avons $f(x)=x^1=x$. En utilisant la définition de la dérivée, nous obtenons :

   $$\begin{gathered} f^{\prime }(x)\&={lim}_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h} \\ [\mathrm{2ex}]\&={lim}_{h\to 0}\frac{(x+h)-x}{h} \\ [\mathrm{2ex}]\&={lim}_{h\to 0}\frac{h}{h} \\ [\mathrm{2ex}]\&=1 \end{gathered}$$

   Cela correspond à la formule de la règle de puissance : $\frac{\text{d}}{\text{d}x}(x^1)=1x^{1-1}=1x^0=1$.

2. Étape inductive : Supposons que la règle de puissance tient pour $n=k$, c’est-à-dire, $\frac{\text{d}}{\text{d}x}(x^k)=k{x}^{k-1}$. Nous devons prouver qu’elle tient aussi pour $n=k+1$.

   Soit $f(x)=x^{k+1}$. En utilisant la règle du produit, nous obtenons :

   $$f^{\prime }(x)=\frac{\text{d}}{\text{d}x}(x·x^k)=x·\frac{\text{d}}{\text{d}x}(x^k)+x^k·\frac{\text{d}}{\text{d}x}(x)$$

   Par l’hypothèse inductive et le fait que $\frac{\text{d}}{\text{d}x}(x)=1$, nous avons :

   $$f^{\prime }(x)=x·k{x}^{k-1}+x^k·1=k{x}^k+x^k=(k+1)x^k$$

   Cela correspond à la formule de la règle de puissance pour $n=k+1$ : $\frac{\text{d}}{\text{d}x}(x^{k+1})=(k+1)x^{(k+1)-1}=(k+1)x^k$.

Ainsi, par induction mathématique, la règle de puissance tient pour tous les exposants entiers positifs.

Preuve de la Formule de la Règle de Puissance pour les Entiers Négatifs

Pour prouver la règle de puissance pour les exposants entiers négatifs, nous pouvons utiliser le fait que $x^{-n}=\frac{1}{x^n}$ et la règle de puissance pour les exposants entiers positifs.

Soit $f(x)=x^{-n}$, où $n$ est un entier positif. En utilisant la règle du quotient, nous obtenons :

Puisque $\frac{\text{d}}{\text{d}x}(1)=0$ et $\frac{\text{d}}{\text{d}x}(x^n)=n{x}^{n-1}$ (par la règle de puissance pour les exposants entiers positifs), nous avons :

Cela correspond à la formule de la règle de puissance pour les exposants entiers négatifs : $\frac{\text{d}}{\text{d}x}(x^{-n})=-n{x}^{-n-1}$.

Quelques Autres Règles de Puissance en Calcul

Règle de Puissance pour les Exposants : $(x^m{)}^n=x^{mn}$

Cette règle stipule que lorsque vous élevez une puissance à une autre puissance, vous pouvez multiplier les exposants. Par exemple :

Règle de Puissance pour les Logarithmes

La règle de puissance pour les logarithmes stipule que le logarithme d’une variable élevée à une puissance est égal à la puissance multipliée par le logarithme de la variable. En d’autres termes :

Par exemple :