La Règle de la Somme, également connue sous le nom de Règle de l’Addition, est un principe fondamental en différentiation utilisé pour trouver la dérivée d’une somme de deux ou plusieurs fonctions. Cette règle simplifie le processus de différentiation de telles fonctions et est largement utilisée dans diverses applications du calcul, y compris les problèmes d’optimisation, la physique et l’ingénierie.
Formule de la Règle de la Somme et Définition Formelle
La formule de la Règle de la Somme pour la différentiation est la suivante :
Définition : Pour des fonctions différentiables et , la dérivée de la somme de ces fonctions par rapport à est donnée par :
où est la dérivée de et est la dérivée de .
La Règle de la Somme peut être étendue à la somme de n’importe quel nombre fini de fonctions différentiables :
Étapes pour Appliquer la Règle de la Somme
- Identifier les fonctions : Déterminez les fonctions individuelles , , ou d’autres fonctions dans la somme donnée.
- Trouver les dérivées de chaque fonction : Différenciez chaque fonction dans la somme par rapport à sa variable en utilisant les règles de différentiation appropriées.
- Ajouter les dérivées : Ajoutez les dérivées des fonctions individuelles obtenues à l’étape 2.
- Simplifier le résultat : Si nécessaire, simplifiez l’expression finale obtenue à l’étape 3.
Exemple : Application de la Règle de la Somme
Considérons la fonction .
Les fonctions dans la somme sont et .
La dérivée de est (en utilisant la Règle de la Puissance), et la dérivée de est .
Ajoutons les dérivées :
Le résultat est déjà simplifié, donc nous avons :
Ainsi, la dérivée de est .
Preuve de la Règle de la Somme
Pour prouver la Règle de la Somme pour la différentiation, nous utiliserons la définition de la dérivée (c’est-à-dire le premier principe de la différentiation) et les propriétés des limites. Soit , où et sont des fonctions différentiables.
Preuve :
Par conséquent, nous avons prouvé que .
Explication Détaillée des Étapes de la Preuve
Commencez par la définition de : est définie comme la somme de et :
Définition de la dérivée : La dérivée de par rapport à est donnée par :
Appliquez la définition de la dérivée par la limite : En utilisant la définition par la limite, la dérivée peut être écrite comme :
Distribuez les termes dans le numérateur : Réécrivez l’expression à l’intérieur de la limite en distribuant les termes :
Séparez les fractions : Divisez la fraction en deux fractions séparées :
Utilisez la propriété de la somme des limites : Appliquez la propriété que la limite d’une somme est la somme des limites :
Reconnaissez les dérivées individuelles : Chaque terme à l’intérieur des limites représente la dérivée des fonctions respectives :
Ainsi, nous avons prouvé que :