Règle de la Constante en Différentiation

La règle de la constante est une règle de différentiation utilisée pour trouver la dérivée d’une fonction constante. Une fonction constante est une fonction qui renvoie toujours la même valeur, quel que soit l’entrée. En d’autres termes, le graphe d’une fonction constante est une ligne horizontale. La règle de la constante stipule que la dérivée d’une fonction constante est toujours zéro.

Formule de la Règle de la Constante et Définition Formelle

La formule de la règle de la constante est la suivante :

ddx(c)=0

Soit c une constante. Si f(x)=c, alors la dérivée de f(x) par rapport à x est donnée par :

f(x)=ddx(c)=0

Dérivation de la Règle de la Constante

Pour comprendre pourquoi la règle de la constante fonctionne, dérivons-la en utilisant la définition limite de la dérivée. Étant donné une fonction constante f(x)=c, nous avons :

f(x)=limh0f(x+h)f(x)h

Comme f(x)=c et f(x+h)=c (la fonction renvoie toujours la même valeur), nous pouvons substituer ces valeurs dans la définition limite :

f(x)=limh0cch=limh00h=limh00=0

Ainsi, nous avons montré que la dérivée d’une fonction constante est toujours zéro.

Importance de la Règle de la Constante

La règle de la constante est un excellent moyen de comprendre le comportement des fonctions plus complexes. Elle est vraiment utile pour déterminer si une fonction polynomiale ou rationnelle est constante ou basée sur une puissance (par exemple, g(x)=xn, où n est un entier positif).

En comprenant que la dérivée d’un terme constant est toujours zéro, nous pouvons rendre le processus de recherche des dérivées pour ces fonctions plus complexes beaucoup plus facile. Prenons un exemple. Lorsque nous différencions un polynôme, la règle de la constante nous aide à nous concentrer sur les termes non constants. Cela est dû au fait que la dérivée du terme constant sera toujours zéro.

Exemple : Application de la Règle de la Constante

Considérons la fonction f(x)=5x3+2x7.

Pour trouver la dérivée de cette fonction, nous pouvons appliquer la règle de la constante au terme constant et la règle de la puissance aux termes non constants :

f(x)=ddx(5x3)+ddx(2x)ddx(7)

En utilisant la règle de la puissance pour les deux premiers termes et la règle de la constante pour le dernier terme, nous obtenons :

f(x)=15x2+20=15x2+2

Ainsi, la dérivée de f(x)=5x3+2x7 est f(x)=15x2+2.