Règle de la Chaîne pour trouver les Dérivées avec des Exemples Étape par Étape

La règle de la chaîne est une règle de différentiation utilisée pour trouver la dérivée d’une fonction composée. Une fonction composée est une fonction qui peut être écrite comme la composition de deux ou plusieurs fonctions, par exemple, $f (g (x))$ . La règle de la chaîne nous permet de décomposer la dérivée de la fonction composée en les dérivées de ses fonctions intérieure et extérieure.

La Formule de la Règle de la Chaîne

Si $h (x) = f (g (x))$ , où $f$ et $g$ sont deux fonctions différentiables, alors la dérivée de $h$ est donnée par :

h^{'} (x) = f^{'} (g (x)) \cdot g^{'} (x)

En d’autres termes, pour trouver la dérivée de $h (x)$ :

Premièrement, prenez la dérivée de la fonction extérieure $f$ , en traitant la fonction intérieure $g (x)$ comme la variable d’entrée.
Ensuite, multipliez par la dérivée de la fonction intérieure $g$ .

Cela peut être intuitivement compris comme :

$f^{'} (g (x))$ représente le taux de changement de $f$ par rapport à $g (x)$
$g^{'} (x)$ représente le taux de changement de $g (x)$ par rapport à $x$
Multiplier ces deux dérivées donne le taux de changement global de $f (g (x))$ par rapport à $x$ , via la règle de la chaîne.

Qu’est-ce qu’une Fonction Composée ?

Une fonction composée est une fonction formée en combinant deux ou plusieurs fonctions, où la sortie d’une fonction devient l’entrée de la fonction suivante. Si $f$ et $g$ sont deux fonctions, alors la fonction composée $h (x) = f (g (x))$ est la fonction obtenue en appliquant $f$ à la sortie de $g$ .

Dans la notation $f (g (x))$ :

$g$ est appelée la fonction intérieure
$f$ est appelée la fonction extérieure

La fonction composée $h (x)$ peut être évaluée en évaluant d’abord la fonction intérieure $g (x)$ , puis en évaluant la fonction extérieure $f$ à la valeur de $g (x)$ .

Exemple

Soit $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = 3 x + 1$ . Alors la fonction composée $h (x) = f (g (x))$ est :

$h (x) = f (g (x)) = (3 x + 1)^{2} = 9 x^{2} + 6 x + 1$

Ici, nous évaluons d’abord $g (x) = 3 x + 1$ , puis nous élevons le résultat au carré pour obtenir $h (x)$ .

Les fonctions composées peuvent être plus complexes, impliquant plusieurs fonctions intérieures et extérieures. Par exemple, $\sin (\ln (x^{2} + 1))$ est une fonction composée où :

La fonction intérieure est $x^{2} + 1$
La fonction intermédiaire est $\ln (x)$
La fonction extérieure est $\sin (x)$

Ici, nous devrions appliquer la règle de la chaîne plusieurs fois pour calculer la dérivée.

Étapes pour Appliquer la Règle de la Chaîne

Identifier la fonction composée : Assurez-vous que la fonction donnée est une fonction composée, c’est-à-dire qu’une fonction est imbriquée dans une autre.
Identifier les fonctions intérieure et extérieure : Déterminez quelle fonction est la fonction intérieure (celle qui est évaluée en premier) et quelle est la fonction extérieure (celle qui prend le résultat de la fonction intérieure comme entrée).
Trouver la dérivée de la fonction extérieure : Différenciez la fonction extérieure, en traitant la fonction intérieure comme une variable.
Trouver la dérivée de la fonction intérieure : Différenciez la fonction intérieure par rapport à sa variable.
Multiplier les dérivées : Multipliez les résultats des étapes 3 et 4.
Simplifier le résultat : Si nécessaire, simplifiez l’expression finale obtenue à l’étape 5.

Quand Utiliser la Règle de la Chaîne

La règle de la chaîne est utilisée lors de la différentiation d’une fonction composée de la forme $f (g (x))$ . Si la fonction composée peut être écrite comme une fonction extérieure $f$ appliquée à une fonction intérieure $g$ , c’est-à-dire $h (x) = f (g (x))$ , alors la règle de la chaîne s’applique.

Quelques exemples courants où la règle de la chaîne est applicable incluent :

Fonctions élevées à une puissance, par exemple, $(x^{2} + 1)^{3}$
Fonctions trigonométriques avec une entrée non triviale, par exemple, $\sin (x^{3})$ , $\tan (\sqrt{x})$
Fonctions exponentielles ou logarithmiques avec une entrée non triviale, par exemple, $e^{\cos (x)}$ , $\ln (x^{2} + 1)$

Exemples

Regardons quelques exemples pour solidifier notre compréhension.

Exemple 1

Trouvez la dérivée de $h (x) = (3 x^{2} + 1)^{5}$

Nous pouvons réécrire $h$ comme une fonction composée : $f (g (x))$ où $f (x) = x^{5}$ et $g (x) = 3 x^{2} + 1$

En appliquant la règle de la chaîne :

$h^{'} (x) = f^{'} (g (x)) \cdot g^{'} (x)$

$f^{'} (x) = 5 x^{4}$ , donc $f^{'} (g (x)) = 5 (3 x^{2} + 1)^{4}$

$g^{'} (x) = 6 x$

Par conséquent, $h^{'} (x) = 5 (3 x^{2} + 1)^{4} \cdot 6 x = 30 x (3 x^{2} + 1)^{4}$

Exemple 2

Trouvez la dérivée de $h (x) = \sin (\ln (x))$

Réécriture en tant que fonction composée : $f (x) = \sin (x)$ , $g (x) = \ln (x)$