Trouver les Dérivées des Fonctions Exponentielles avec des Exemples Étape par Étape

Une fonction exponentielle est une fonction de la forme $f (x) = a^{x}$ , où $a$ est une constante positive différente de 1, et $x$ est une variable. La dérivée d’une fonction exponentielle décrit le taux de changement de la fonction par rapport à sa variable.

Formule et Définition Formelle

La dérivée d’une fonction exponentielle $f (x) = a^{x}$ , où $a > 0$ et $a \neq 1$ , est donnée par :

f^{'} (x) = a^{x} \ln (a)

Pour une fonction exponentielle $f (x) = a^{x}$ , où $a > 0$ et $a \neq 1$ , la dérivée par rapport à $x$ est :

\frac{d}{d x} (a^{x}) = a^{x} \ln (a)

où $\ln (a)$ est le logarithme naturel de $a$ .

Dérivée de la Fonction Exponentielle $e^{x}$

Un cas particulier de la fonction exponentielle est $f (x) = e^{x}$ , où $e$ est le nombre d’Euler (environ 2.71828). La dérivée de $e^{x}$ est particulièrement simple :

f^{'} (x) = e^{x}

Cela est dû au fait que $\ln (e) = 1$ , donc :

\frac{d}{d x} (e^{x}) = e^{x} \ln (e) = e^{x} \cdot 1 = e^{x}

La Propriété Unique de la Fonction Exponentielle $e^{x}$

La fonction exponentielle $f (x) = e^{x}$ a une propriété unique : elle est sa propre dérivée ! Cela signifie que le taux de changement de $e^{x}$ est égal à la fonction elle-même. En d’autres termes, la pente de la tangente au graphe de $e^{x}$ en tout point est égale à la valeur de $e^{x}$ en ce point.

Cette propriété rend la fonction exponentielle, $e^{x}$ , vraiment spéciale. En fait, elle est si spéciale qu’elle est l’une des fonctions les plus importantes en calcul et dans ses applications. C’est la seule fonction (à une constante multiplicative près) qui possède cette propriété incroyable ! La fonction exponentielle $e^{x}$ apparaît dans de nombreux modèles mathématiques de phénomènes naturels, tels que la croissance de la population, la désintégration radioactive et les intérêts composés. Pourquoi ? Parce que son taux de changement est directement proportionnel à sa valeur actuelle.

La propriété unique de $e^{x}$ peut être dérivée de la définition de la fonction exponentielle et des propriétés des logarithmes. Considérons la fonction $f (x) = a^{x}$ , où $a > 0$ et $a \neq 1$ . Si nous posons $a = e^{\ln (a)}$ , nous pouvons réécrire la fonction comme suit :

f (x) = (e^{\ln (a)})^{x} = e^{x \ln (a)}

En utilisant la règle de la chaîne, nous pouvons trouver la dérivée de cette fonction :

f^{'} (x) = e^{x \ln (a)} \cdot \ln (a)

Si nous posons $a = e$ , alors $\ln (a) = \ln (e) = 1$ , et nous obtenons :

f^{'} (x) = e^{x \ln (e)} \cdot \ln (e) = e^{x} \cdot 1 = e^{x}

Ainsi, la fonction exponentielle $f (x) = e^{x}$ est la seule fonction exponentielle (à une constante multiplicative près) qui est sa propre dérivée.

Preuve de la Dérivée d’une Fonction Exponentielle

Pour prouver la dérivée d’une fonction exponentielle $f (x) = a^{x}$ , nous pouvons utiliser la définition de la dérivée :

f^{'} (x) = {lim}_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}

Étape 1 : Remplaçons $f (x) = a^{x}$ dans la définition de la dérivée.

f^{'} (x) = {lim}_{h \to 0} \frac{a^{x + h} - a^{x}}{h}

Étape 2 : Réécrivons $a^{x + h}$ comme $a^{x} \cdot a^{h}$ .

f^{'} (x) = {lim}_{h \to 0} \frac{a^{x} \cdot a^{h} - a^{x}}{h}

Étape 3 : Factorisons $a^{x}$ .

f^{'} (x) = a^{x} {lim}_{h \to 0} \frac{a^{h} - 1}{h}

Étape 4 : Reconnaissons que ${lim}_{h \to 0} \frac{a^{h} - 1}{h} = \ln (a)$ .

f^{'} (x) = a^{x} \ln (a)

Ainsi, nous avons prouvé que la dérivée d’une fonction exponentielle $f (x) = a^{x}$ est $f^{'} (x) = a^{x} \ln (a)$ . Cette preuve repose sur les propriétés des exponentielles et des logarithmes, ainsi que sur la définition de la dérivée.

Graphe de la Dérivée d’une Fonction Exponentielle

Le graphe d’une fonction exponentielle $f (x) = a^{x}$ dépend de la valeur de $a$ :

Si $a > 1$ , la fonction est croissante et le graphe augmente rapidement.
Si $0 < a < 1$ , la fonction est décroissante et le graphe se rapproche de l’axe des x à mesure que x augmente.

Le graphe de la dérivée d’une fonction exponentielle $f^{'} (x) = a^{x} \ln (a)$ est similaire à la fonction originale, mais il est mis à l’échelle par un facteur de $\ln (a)$ :

Si $a > 1$ , alors $\ln (a) > 0$ , donc la dérivée est positive et le graphe est croissant.
Si $0 < a < 1$ , alors $\ln (a) < 0$ , donc la dérivée est négative et le graphe est décroissant.

Voici quelques exemples de fonctions exponentielles et leurs dérivées :

$5^{x}$ en bleu
$2^{x}$ en orange
${(\frac{1}{2})}^{x}$ en vert

Les graphes illustrent la relation entre une fonction exponentielle et sa dérivée, les lignes pleines représentant les fonctions originales et les lignes pointillées leurs dérivées. La dérivée d’une fonction exponentielle est proportionnelle à la fonction originale, où la constante de proportionnalité est $\ln (a)$ . Pour $0 < a < 1$ , la fonction $a^{x}$ décroît à mesure que $x$ augmente, et sa dérivée, qui décroît également, a une valeur négative car $\ln (a)$ est négatif. Le résultat est que la fonction et sa dérivée sont toutes deux décroissantes. À l’inverse, pour $a > 1$ , la fonction $a^{x}$ croît exponentiellement et sa dérivée, mise à l’échelle par $\ln (a)$ , est positive et également croissante.

Une autre propriété de toutes les fonctions exponentielles est que leurs graphes passent par le point (0, 1), car $a^{0} = 1$ .

Applications de la Dérivée des Fonctions Exponentielles

La dérivée des fonctions exponentielles a de nombreuses applications dans divers domaines :

Croissance de la population : Les fonctions exponentielles peuvent modéliser la croissance des populations, et leurs dérivées décrivent le taux de changement de la population au fil du temps.
**Désintégration radioactive :

** La désintégration des substances radioactives suit une loi exponentielle, et la dérivée de cette fonction donne le taux de désintégration à un moment donné.

Intérêt composé : La croissance d’un investissement avec intérêt composé peut être modélisée par une fonction exponentielle, et sa dérivée représente le taux de changement instantané de la valeur de l’investissement.
Refroidissement et chauffage : La loi de refroidissement de Newton stipule que le taux de changement de la température d’un objet est proportionnel à la différence entre sa température et la température ambiante, conduisant à des fonctions exponentielles et à leurs dérivées.
Réactions chimiques : Les taux de nombreuses réactions chimiques sont décrits par des fonctions exponentielles, et leurs dérivées donnent le taux de changement instantané des concentrations de réactifs ou de produits.

Exemples

Trouvez la dérivée de $f (x) = 3^{x} + 3^{x^{2}}$ .
En utilisant la règle de la somme et la règle de la chaîne, nous obtenons :
$f^{'} (x) = 3^{x} \ln (3) + 3^{x^{2}} \cdot 2 x \ln (3)$
Trouvez la dérivée de $f (x) = \frac{e^{x}}{1 + x}$ .
En utilisant la règle du quotient, nous obtenons :
$f^{'} (x) = \frac{e^{x} (1 + x) - e^{x}}{(1 + x)^{2}} = \frac{x e^{x}}{(1 + x)^{2}}$
La population d’une ville croît de manière exponentielle selon la fonction $P (t) = 50000 \cdot {1.03}^{t}$ , où $t$ est le nombre d’années depuis 2000. Trouvez le taux de croissance de la population en 2050.
Tout d’abord, nous trouvons la dérivée de $P (t)$ :
$P^{'} (t) = 50000 \cdot {1.03}^{t} \ln (1.03)$
Ensuite, nous calculons le taux de croissance en 2050 en évaluant $P^{'} (50)$ :
$P^{'} (50) = 50000 \cdot {1.03}^{50} \ln (1.03) \approx 6479 personnes par an$

Dérivées des Fonctions Exponentielles en Différentiation