Dérivée de tanh(x) - Démonstration et Explication

Démonstration

Nous commençons par définir $\tanh (x)$ comme $\frac{\sinh (x)}{\cosh (x)}$. Pour trouver la dérivée, nous utilisons la règle du quotient, qui stipule que la dérivée d’un quotient $\frac{u}{v}$ est $\frac{u^{\prime }v-u{v}^{\prime }}{v^2}$.

Ici, posons $u=\sinh (x)$ et $v=\cosh (x)$. Les dérivées sont $u^{\prime }=\cosh (x)$ et $v^{\prime }=\sinh (x)$.

En appliquant la règle du quotient, nous avons :

Cela se simplifie en :

En utilisant l’identité ${\cosh }^2(x)-{\sinh }^2(x)=1$, nous obtenons :

Ainsi, la dérivée de $\tanh (x)$ est :

Explication

Pour comprendre la dérivée de $\tanh (x)$, commençons par reconnaître que $\tanh (x)$ est défini comme le rapport de la fonction sinus hyperbolique $\sinh (x)$ à la fonction cosinus hyperbolique $\cosh (x)$, donc $\tanh (x)=\frac{\sinh (x)}{\cosh (x)}$. Cela représente la tangente hyperbolique, couramment utilisée en calcul et en géométrie hyperbolique.

Pour trouver la dérivée de $\tanh (x)$, nous appliquons la <strong>règle du quotient.</strong> La règle du quotient nous aide à différencier les fonctions qui sont exprimées comme le quotient de deux autres fonctions. Spécifiquement, si une fonction est donnée comme $\frac{u}{v}$, sa dérivée est $\frac{u^{\prime }v-u{v}^{\prime }}{v^2}$, où $u$ et $v$ sont des fonctions différentiables de $x$.

Dans le cas de $\tanh (x)$, nous avons $u=\sinh (x)$ et $v=\cosh (x)$. La dérivée de $\sinh (x)$ est $\cosh (x)$, et la dérivée de $\cosh (x)$ est $\sinh (x)$.

En appliquant la règle du quotient, nous substituons les dérivées :

Le numérateur se simplifie en ${\cosh }^2(x)-{\sinh }^2(x)$. Selon l’identité hyperbolique, ${\cosh }^2(x)-{\sinh }^2(x)=1$. Cela simplifie toute l’expression en :

L’expression $\frac{1}{{\cosh }^2(x)}$ est la définition de ${\text{sech}}^2(x)$, ce qui représente le carré de la fonction sécante hyperbolique.

Par conséquent, la dérivée de $\tanh (x)$ par rapport à $x$ est $\boxed{{\text{sech}}^2(x)}$.

CQFD.