Dérivée de tan(x) - Démonstration et Explication

Démonstration #1

Explication

1. La démonstration commence par la définition de la fonction tangente :

   $\tan x=\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

2. Elle utilise ensuite les dérivées déjà démontrées de la sinus et de la cosinus :

   $\frac{d}{dx}\sin (x)=\cos (x)$ $\frac{d}{dx}\cos (x)=-\sin (x)$

3. La règle du quotient pour les dérivées est ensuite appliquée. Cette règle stipule que pour deux fonctions $u(x)$ et $v(x)$ :

   $\frac{d}{dx}\left(\frac{u(x)}{v(x)}\right)=\frac{v(x)\frac{d}{dx}u(x)-u(x)\frac{d}{dx}v(x)}{[v(x){]}^2}$

   Dans ce cas, $u(x)=\sin (x)$ et $v(x)=\cos (x)$. En appliquant la règle du quotient, on obtient :

   $\frac{d}{dx}\tan (x)=\frac{\cos (x)\cos (x)-\sin (x)(-\sin (x))}{{\cos }^2(x)}$

4. Le numérateur est simplifié en utilisant l’identité trigonométrique standard ${\cos }^2(x)+{\sin }^2(x)=1$ :

   $\frac{d}{dx}\tan (x)=\frac{{\cos }^2(x)+{\sin }^2(x)}{{\cos }^2(x)}$

5. En utilisant l’identité de l’étape 4, le numérateur se simplifie à 1 :

   $\frac{d}{dx}\tan (x)=\frac{1}{{\cos }^2(x)}$

6. La démonstration est valide seulement lorsque $\cos (x)\ne 0$, car la division par zéro est indéfinie.

7. Enfin, le résultat découle du fait que $\sec (x)=\frac{1}{\cos (x)}$ (la sécante est le réciproque du cosinus).

Par conséquent, la dérivée de $\tan (x)$ est ${\sec }^2(x)$.

Démonstration #2

Explication

1. La démonstration commence par la définition de la dérivée d’une fonction réelle en un point. Dans ce cas, c’est la dérivée de la tangente par rapport à $x$, qui est la limite lorsque $h$ tend vers $0$ de $\frac{\tan (x+h)-\tan x}{h}$.

2. L’étape suivante utilise l’identité trigonométrique pour la tangente d’une somme : $\tan (A+B)=\frac{\tan (A)+\tan (B)}{1-\tan (A)\tan (B)}$. Ici, $A$ est $x$ et $B$ est $h$. En appliquant cette identité à $\tan (x+h)$, on obtient : $\frac{\tan (x)+\tan (h)}{1-\tan (x)\tan (h)}$.

3. Le numérateur est ensuite développé en ajoutant et en soustrayant $\tan (x)$ : $\frac{\tan (x)+\tan (h)-\tan (x)+{\tan }^2(x)\tan (h)}{1-\tan (x)\tan (h)}$.

4. Le numérateur est factorisé et le dénominateur est multiplié par $h$ : $\frac{\tan (h)+{\tan }^2(x)\tan (h)}{h(1-\tan (x)\tan (h))}$.

5. La règle du produit pour les limites est appliquée, divisant la limite en le produit de deux limites : ${lim}_{h\to 0}\frac{1+{\tan }^2(x)}{1-\tan (x)\tan (h)}·{lim}_{h\to 0}\frac{\tan (h)}{h}$.

6. La deuxième limite est une limite standard : ${lim}_{h\to 0}\frac{\tan (h)}{h}=1$. Dans la première limite, $\tan (0)=0$, donc lorsque $h\to 0$, $\tan (h)\to 0$. Ainsi, la première limite évalue à $\frac{1+{\tan }^2(x)}{1-\tan (x)\tan 0}=1+{\tan }^2(x)$.

7. Le résultat est simplifié en utilisant l’identité trigonométrique $1+{\tan }^2(x)={\sec }^2(x)$.

8. Enfin, le résultat est exprimé en termes de cosinus en utilisant l’identité $\sec (x)=\frac{1}{\cos (x)}$,

à condition que $\cos (x)\ne 0$.

Par conséquent, la dérivée de $\tan (x)$ par rapport à $x$ est $\boxed{{\sec }^2(x)}$ ou $\frac{1}{{\cos }^2(x)}$, à condition que $\cos (x)\ne 0$.