Dérivée de la racine carrée sqrt(x) - Démonstration et Explication

Démonstration

1. Définition de $\sqrt{x}$ :

   $$\sqrt{x}=x^{\frac{1}{2}}$$

2. Utilisation de la règle de puissance:

   $$\text{Si }y=x^n,\text{ alors }{y}^{\prime }=n{x}^{n-1}$$

   Prenons $n=\frac{1}{2}$ :

   $$\frac{\text{d}}{\text{d}x}{x}^{\frac{1}{2}}=\frac{1}{2}{x}^{\frac{1}{2}-1}$$

3. Simplifier l’expression :

   $$\frac{\text{d}}{\text{d}x}{x}^{\frac{1}{2}}=\frac{1}{2}{x}^{-\frac{1}{2}}$$

4. Réécrire en utilisant la racine carrée:

   $$x^{-\frac{1}{2}}=\frac{1}{\sqrt{x}}$$

Ainsi, la dérivée de $\sqrt{x}$ est :

Explication

Pour comprendre la dérivée de $\sqrt{x}$, nous commençons par exprimer $\sqrt{x}$ comme une puissance de $x$. Plus précisément, $\sqrt{x}$ peut être écrit comme $x^{\frac{1}{2}}$. Cette forme nous permet d’utiliser la règle de puissance pour la différentiation.

La règle de puissance stipule que si nous avons une fonction $x^n$, sa dérivée par rapport à $x$ est $n{x}^{n-1}$. Ici, notre exposant $n$ est $\frac{1}{2}$.

En appliquant la règle de puissance à $x^{\frac{1}{2}}$, nous obtenons :

Ensuite, nous simplifions l’exposant $\frac{1}{2}-1$, qui est égal à $-\frac{1}{2}$. Par conséquent, notre expression pour la dérivée devient :

Pour rendre cette expression plus familière, nous réécrivons $x^{-\frac{1}{2}}$ en utilisant la notation de la racine carrée. Puisque $x^{-\frac{1}{2}}$ est équivalent à $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$, et $x^{\frac{1}{2}}$ est $\sqrt{x}$, nous obtenons :

En substituant ceci dans notre expression pour la dérivée, nous avons :

Par conséquent, la dérivée de $\sqrt{x}$ par rapport à $x$ est $\boxed{\frac{1}{2\sqrt{x}}}$.

CQFD