Dérivée de sinh(x) - Démonstration et Explication

Démonstration

La fonction sinus hyperbolique est définie comme suit :

Pour trouver la dérivée, nous utilisons la dérivée des fonctions exponentielles. La dérivée de $e^x$ est $e^x$, et la dérivée de $e^{-x}$ est $-e^{-x}$.

Maintenant, en différentiant $\sinh (x)$ :

Cela se simplifie en :

Ainsi, la dérivée de $\sinh (x)$ est :

Explication

La fonction sinus hyperbolique, $\sinh (x)$, est similaire à la fonction sinus mais basée sur les fonctions exponentielles. Elle est définie comme suit :

Cette expression représente la différence entre la croissance exponentielle $e^x$ et la décroissance exponentielle $e^{-x}$, divisée par deux.

Pour trouver la dérivée, nous différencions chaque partie de la fonction. La dérivée de $e^x$ par rapport à $x$ est $e^x$, et la dérivée de $e^{-x}$ par rapport à $x$ est $-e^{-x}$. Cela est dû à la règle de la chaîne, où la dérivée de $-x$ est $-1$.

En substituant ces dérivées dans la formule de $\sinh (x)$ :

Cela se simplifie en :

Cette expression est exactement la définition de $\cosh (x)$, la fonction cosinus hyperbolique :

CQFD.