Dérivée de sin(x) - Démonstration et Explication

Démonstration

Explication

1. La démonstration commence par énoncer la définition de la dérivée d’une fonction réelle en un point. Dans ce cas, c’est la dérivée du sinus par rapport à $x$, qui est la limite lorsque $h$ tend vers $0$ de $\frac{\sin (x+h)-\sin (x)}{h}$.

2. L’étape suivante utilise l’identité trigonométrique pour le sinus d’une somme : $\sin (A+B)=\sin (A)\cos (B)+\cos (A)\sin (B)$. Ici, $A$ est $x$ et $B$ est $h$. En appliquant cette identité à $\sin (x+h)$, on obtient : $\sin (x)\cos (h)+\sin (h)\cos (x)$.

3. Le numérateur est ensuite réarrangé en collectant les termes contenant $\sin (x)$. Plus précisément, $\sin (x)$ est factorisé à partir des termes le contenant et $\sin (x)\cos (h)-\sin (x)$ est factorisé en $\sin (x)(\cos (h)-1)$, et $\sin (h)\cos (x)$ est laissé tel quel. Le dénominateur $h$ reste inchangé.

4. La limite est divisée en deux parties en utilisant la règle de la somme pour les limites. Cette règle stipule que la limite d’une somme est égale à la somme des limites, à condition que les deux limites existent. Nous avons donc maintenant deux limites : une pour $\frac{\sin (x)(\cos (h)-1)}{h}$ et une autre pour $\frac{\sin (h)\cos (x)}{h}$.

5. Nous pouvons évaluer chacune de ces limites séparément. La limite de $\frac{\sin (h)}{h}$ lorsque $h$ tend vers $0$ est égale à $1$ (c’est une limite standard). La limite de $\frac{\cos (h)-1}{h}$ lorsque $h$ tend vers $0$ est égale à $0$ (c’est une autre limite standard). Lorsque nous multiplions ces limites par $\sin (x)$ et $\cos (x)$ respectivement, nous obtenons $\sin (x)·0$ et $1·\cos (x)$.

6. En additionnant ces résultats selon la règle de la somme pour les limites, nous obtenons $0+\cos (x)$, ce qui se simplifie en $\cos (x)$.

CQFD : Par conséquent, la dérivée de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $\boxed{\cos (x)}$.