Dérivée de sec(x) - Démonstration et Explication

Pour trouver la dérivée de sec(x), nous commençons par la réécrire sous une forme qui pourrait être plus facile à dériver. Rappelons que :

sec(x)=1cos(x)

Pour différencier ceci, nous utilisons la <strong>règle du quotient</strong>. La règle du quotient stipule que pour deux fonctions u(x) et v(x), la dérivée de leur quotient uv est donnée par :

ddx(uv)=vdudxudvdxv2

Dans notre cas :

Étape 1 : Différencier u et v

  1. La dérivée de u par rapport à x est 0 car u=1 – une constante.
  2. La dérivée de v=cos(x) par rapport à x est sin(x).

Étape 2 : Appliquer la règle du quotient

En insérant ces valeurs dans la règle du quotient :

ddx(1cos(x))=cos(x)·01·(sin(x))cos2(x)

Cela se simplifie en :

sin(x)cos2(x)

Étape 3 : Simplifier le résultat

Maintenant, nous pouvons réécrire cette expression en termes d’autres fonctions trigonométriques :

sin(x)cos2(x)=sin(x)cos(x)·1cos(x)=tan(x)·sec(x)

Ainsi, la dérivée de sec(x) est :

sec(x)·tan(x)

CQFD