Dérivée de log(x) - Démonstration et Explication

Démonstration

Soit $y=\ln (x)$. Pour trouver la dérivée, nous utilisons la définition du logarithme naturel :

1. Réécrivons $y=\ln (x)$ comme $x=e^y$.

2. Différencions les deux côtés par rapport à $x$ :

   $$\frac{\text{d}}{\text{d}x}(x)=\frac{\text{d}}{\text{d}x}(e^y)$$

3. Cela donne :

   $$1=e^y\frac{dy}{dx}$$

4. En résolvant pour $\frac{dy}{dx}$ :

   $$\frac{dy}{dx}=\frac{1}{e^y}$$

5. Remplaçons $e^y=x$ :

   $$\frac{dy}{dx}=\frac{1}{x}$$

Ainsi, la dérivée de $\ln (x)$ est :

Explication

La fonction logarithme naturel, $\ln (x)$, est l’inverse de la fonction exponentielle $e^x$. Pour trouver la dérivée, nous commençons par poser $y=\ln (x)$. Cela signifie que $x$ peut être exprimé comme $e^y$.

En différenciant les deux côtés par rapport à $x$, le côté gauche devient simplement $1$. Pour le côté droit, en utilisant la règle de la chaîne, la dérivée de $e^y$ par rapport à $x$ est $e^y\frac{dy}{dx}$.

En égalant ces expressions, on obtient l’équation $1=e^y\frac{dy}{dx}$. Nous résolvons alors pour $\frac{dy}{dx}$, ce qui implique de diviser les deux côtés par $e^y$. Cela se simplifie en $\frac{1}{e^y}$.

Enfin, comme $e^y=x$ (d’après notre substitution initiale), nous pouvons substituer à nouveau pour obtenir $\frac{dy}{dx}=\frac{1}{x}$.

Par conséquent, la dérivée de $\ln (x)$ est $\boxed{\frac{1}{x}}$.

CQFD