Dérivée de csc(x) - Démonstration et Explication

Démonstration

Nous commençons par définir $\csc (x)$ comme $\frac{1}{\sin (x)}$ . Pour trouver la dérivée, nous utilisons la règle du quotient, qui stipule que la dérivée d’un quotient $\frac{u}{v}$ est $\frac{u^{'} v - u v^{'}}{v^{2}}$ .

Ici, soit $u = 1$ et $v = \sin (x)$ . La dérivée de $u$ par rapport à $x$ est $0$ puisque c’est une constante, et la dérivée de $v = \sin (x)$ est $\cos (x)$ .

En appliquant la règle du quotient, nous avons :

\frac{d}{d x} \csc (x) = \frac{0 \cdot \sin (x) - 1 \cdot \cos (x)}{\sin^{2} (x)} = - \frac{\cos (x)}{\sin^{2} (x)}

Ensuite, nous simplifions $- \frac{\cos (x)}{\sin^{2} (x)}$ . Cela peut être réécrit comme $- \frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ , ce qui simplifie à $- \csc (x) \cot (x)$ .

Ainsi, la dérivée de $\csc (x)$ est :

\frac{d}{d x} \csc (x) = - \csc (x) \cdot \cot (x)

Explication

Pour comprendre cette dérivée, nous reconnaissons d’abord que $\csc (x)$ est le réciproque de la fonction sinus, définie comme $\csc (x) = \frac{1}{\sin (x)}$ . Cela signifie que pour tout angle $x$ , $\csc (x)$ représente le rapport de l’hypoténuse au côté opposé dans un triangle rectangle.

Lorsque nous cherchons la dérivée de $\csc (x)$ , nous utilisons la règle du quotient car elle implique la division de deux fonctions. Selon la règle du quotient, la dérivée d’une fonction exprimée comme $\frac{u}{v}$ est $\frac{u^{'} v - u v^{'}}{v^{2}}$ , où $u$ et $v$ sont des fonctions de $x$ .

Dans notre cas, nous choisissons $u = 1$ (une fonction constante) et $v = \sin (x)$ . La dérivée d’une constante $(1)$ est $0$ , et la dérivée de $\sin (x)$ est $\cos (x)$ .

En appliquant ces dérivées dans la règle du quotient, nous trouvons :

\frac{d}{d x} \csc (x) = \frac{0 \cdot \sin (x) - 1 \cdot \cos (x)}{\sin^{2} (x)}

Cela se simplifie en $- \frac{\cos (x)}{\sin^{2} (x)}$ puisque le terme $0 \cdot \sin (x)$ est nul et $- 1 \cdot \cos (x)$ est $- \cos (x)$ .

Ensuite, nous simplifions $- \frac{\cos (x)}{\sin^{2} (x)}$ . Cela peut être exprimé comme $- \frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ . Ici, $\frac{1}{\sin (x)}$ est la définition de $\csc (x)$ , et $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ est $\cot (x)$ . Par conséquent, l’expression se simplifie à $- \csc (x) \cot (x)$ .

Par conséquent, la dérivée de $\csc (x)$ par rapport à $x$ est $- \csc (x) \cdot \cot (x)$ .