Dérivée de coth(x) - Démonstration et Explication

Démonstration

Pour trouver la dérivée de $\coth (x)$ , nous commençons par sa définition :

\coth (x) = \frac{\cosh (x)}{\sinh (x)}

En utilisant la règle du quotient, qui stipule que la dérivée d’un quotient $\frac{u}{v}$ est :

\frac{u^{'} v - u v^{'}}{v^{2}}

Soit $u = \cosh (x)$ et $v = \sinh (x)$ . Les dérivées sont $u^{'} = \sinh (x)$ et $v^{'} = \cosh (x)$ .

En appliquant la règle du quotient :

\frac{d}{d x} \coth (x) = \frac{\sinh (x) \cdot \sinh (x) - \cosh (x) \cdot \cosh (x)}{\sinh^{2} (x)}

En simplifiant le numérateur :

\sinh^{2} (x) - \cosh^{2} (x) = - 1

Ainsi, la dérivée devient :

\frac{- 1}{\sinh^{2} (x)} = - {c s c h}^{2} (x)

Donc, la dérivée de $\coth (x)$ est :

\frac{d}{d x} \coth (x) = - {c s c h}^{2} (x)

Explication

Pour comprendre la dérivée de $\coth (x)$ , nous commençons par reconnaître sa définition comme la fonction cotangente hyperbolique, exprimée comme $\coth (x) = \frac{\cosh (x)}{\sinh (x)}$ . Cette fonction représente le rapport du cosinus hyperbolique au sinus hyperbolique.

Nous utilisons la règle du quotient pour trouver la dérivée d’un quotient de deux fonctions. Selon cette règle, pour une fonction $\frac{u}{v}$ , la dérivée est $\frac{u^{'} v - u v^{'}}{v^{2}}$ , où $u$ et $v$ sont deux fonctions de $x$ .

Dans le cas de $\coth (x)$ , nous posons $u = \cosh (x)$ et $v = \sinh (x)$ . La dérivée de $\cosh (x)$ est $\sinh (x)$ , et la dérivée de $\sinh (x)$ est $\cosh (x)$ .

En appliquant ces dérivées dans la règle du quotient, nous obtenons :

\frac{d}{d x} \coth (x) = \frac{\sinh (x) \cdot \sinh (x) - \cosh (x) \cdot \cosh (x)}{\sinh^{2} (x)}

Le numérateur se simplifie en $\sinh^{2} (x) - \cosh^{2} (x)$ . Selon l’identité $\cosh^{2} (x) - \sinh^{2} (x) = 1$ , nous savons que $\sinh^{2} (x) - \cosh^{2} (x) = - 1$ .

Ainsi, l’expression devient :

\frac{- 1}{\sinh^{2} (x)}

Puisque $\frac{1}{\sinh^{2} (x)}$ est ${c s c h}^{2} (x)$ , le résultat final est :

- {c s c h}^{2} (x)

CQFD