Dérivée de cot(x) - Démonstration et Explication

Démonstration

Nous commençons par définir $\cot (x)$ comme $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$. Pour trouver la dérivée, nous utilisons la règle du quotient, qui stipule que la dérivée d’un quotient $\frac{u}{v}$ est $\frac{u^{\prime }v-u{v}^{\prime }}{v^2}$.

Soit $u=\cos (x)$ et $v=\sin (x)$. La dérivée de $\cos (x)$ est $-\sin (x)$, et la dérivée de $\sin (x)$ est $\cos (x)$.

En appliquant la règle du quotient:

En utilisant l’identité pythagoricienne ${\sin }^2(x)+{\cos }^2(x)=1$:

Ainsi, la dérivée de $\cot (x)$ est :

Explication

Pour comprendre cette dérivée, commençons par reconnaître que $\cot (x)$ est défini comme $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$, qui est le rapport de la fonction cosinus à la fonction sinus. Cela signifie que pour tout angle $x$, $\cot (x)$ donne le rapport du côté adjacent au côté opposé dans un triangle rectangle.

Pour trouver la dérivée de $\cot (x)$, nous utilisons la règle du quotient. Cette règle est utilisée lorsqu’on dérive un quotient de deux fonctions. Elle stipule que si vous avez une fonction exprimée comme $\frac{u}{v}$, la dérivée est $\frac{u^{\prime }v-u{v}^{\prime }}{v^2}$, où $u$ et $v$ sont des fonctions de $x$.

Ici, nous choisissons $u=\cos (x)$ et $v=\sin (x)$. La dérivée de $\cos (x)$ par rapport à $x$ est $-\sin (x)$, et la dérivée de $\sin (x)$ est $\cos (x)$.

En appliquant la règle du quotient :

Cela se simplifie en $\frac{-{\sin }^2(x)-{\cos }^2(x)}{{\sin }^2(x)}$. En utilisant l’identité pythagoricienne ${\sin }^2(x)+{\cos }^2(x)=1$, nous simplifions le numérateur à $-1$, ce qui donne :

Cela peut être réécrit comme $-{\csc }^2(x)$, puisque $\csc (x)=\frac{1}{\sin (x)}$.

Ainsi, la dérivée de $\cot (x)$ par rapport à $x$ est $\boxed{-{\csc }^2(x)}$.

CQFD