Dérivée de cos(x) - Démonstration et Explication

Démonstration

Explication

1. La démonstration commence par énoncer la définition de la dérivée d’une fonction réelle en un point. Dans ce cas, c’est la dérivée de $\cos (x)$ par rapport à $x$, qui est la limite lorsque $h$ tend vers $0$ de $\frac{\cos (x+h)-\cos (x)}{h}$.

2. L’étape suivante utilise l’identité trigonométrique pour le cosinus d’une somme : $\cos (A+B)=\cos (A)\cos (B)-\sin (A)\sin (B)$. Ici, $A$ est $x$ et $B$ est $h$. En appliquant cette identité à $\cos (x+h)$, on obtient : $\cos (x)\cos (h)-\sin (x)\sin (h)$.

3. Le numérateur est ensuite réarrangé en séparant les termes impliquant $\cos (x)$ et $\sin (x)$. Plus précisément, $\cos (x)$ est factorisé à partir des termes le contenant, et nous écrivons l’expression comme $\cos (x)(\cos (h)-1)-\sin (x)\sin (h)$. Le dénominateur $h$ reste inchangé.

4. La limite est divisée en deux parties en utilisant la règle de la somme pour les limites. Cette règle stipule que la limite d’une somme est égale à la somme des limites, à condition que les deux limites existent. Nous avons donc maintenant deux limites : une pour $\frac{\cos (x)(\cos (h)-1)}{h}$ et une autre pour $\frac{-\sin (x)\sin (h)}{h}$.

5. Nous pouvons évaluer chacune de ces limites séparément. La limite de $\frac{\sin (h)}{h}$ lorsque $h$ tend vers $0$ est égale à $1$ (c’est une limite standard). La limite de $\frac{\cos (h)-1}{h}$ lorsque $h$ tend vers $0$ est égale à $0$ (c’est une autre limite standard). Lorsque nous multiplions ces limites par $\cos (x)$ et $-\sin (x)$ respectivement, nous obtenons $\cos (x)·0$ et $-\sin (x)·1$.

6. En additionnant ces résultats selon la règle de la somme pour les limites, nous obtenons $0-\sin (x)$, ce qui se simplifie en $-\sin (x)$.

CQFD : Par conséquent, la dérivée de $\cos (x)$ par rapport à $x$ est $\boxed{-\sin (x)}$.