Dérivée de atanh(x) - Démonstration et Explication

Démonstration

Nous commençons par définir $y=\text{atanh}(x)$, ce qui signifie $x=\tanh (y)$.

1. Définition et différentiation implicite :

   $$y=\text{atanh}(x)⟹x=\tanh (y)$$

2. Dérivée de $\tanh (y)$ :

   $$\frac{\text{d}}{\text{d}y}\tanh (y)={\text{sech}}^2(y)$$

3. Différentiation implicite par rapport à $x$ :

   $$\frac{dx}{dy}={\text{sech}}^2(y)$$

4. Réciproque pour trouver $\frac{dy}{dx}$ :

   $$\frac{dy}{dx}=\frac{1}{{\text{sech}}^2(y)}$$

5. Simplification en utilisant l’identité $\text{sech}(y)=\frac{1}{\cosh (y)}$ :

   $${\text{sech}}^2(y)=\frac{1}{{\cosh }^2(y)}$$

   Donc,

   $$\frac{dy}{dx}={\cosh }^2(y)$$

6. Exprimer ${\cosh }^2(y)$ en termes de $x$ : À partir de l’identité ${\cosh }^2(y)-{\sinh }^2(y)=1$ et sachant que $\tanh (y)=x$, nous avons $\sinh (y)=x\cosh (y)$. Ainsi,

   $${\cosh }^2(y)-x^2{\cosh }^2(y)=1⟹{\cosh }^2(y)(1-x^2)=1⟹{\cosh }^2(y)=\frac{1}{1-x^2}$$

Donc,

Ainsi, la dérivée de $\text{atanh}(x)$ est :

Explication

Pour comprendre la dérivée de $\text{atanh}(x)$, nous définissons d’abord $y=\text{atanh}(x)$, ce qui signifie que $x$ est le tangente hyperbolique de $y$. Cette relation peut être écrite comme $x=\tanh (y)$.

La fonction $\tanh (y)$ est une fonction hyperbolique, semblable aux fonctions trigonométriques mais pour les angles hyperboliques. Sa dérivée par rapport à $y$ est ${\text{sech}}^2(y)$, où $\text{sech}(y)$ est la sécante hyperbolique, définie comme $\frac{1}{\cosh (y)}$.

En utilisant la différentiation implicite, nous dérivons les deux côtés de $x=\tanh (y)$ par rapport à $x$. Cela nous donne :

Pour trouver $\frac{dy}{dx}$, nous prenons le réciproque de $\frac{dx}{dy}$ :

Ensuite, nous simplifions $\frac{1}{{\text{sech}}^2(y)}$. Étant donné que $\text{sech}(y)=\frac{1}{\cosh (y)}$, nous avons ${\text{sech}}^2(y)=\frac{1}{{\cosh }^2(y)}$. Donc,

Pour exprimer ${\cosh }^2(y)$ en termes de $x$, nous utilisons l’identité ${\cosh }^2(y)-{\sinh }^2(y)=1$. Sachant que $\tanh (y)=x$, nous obtenons $\sinh (y)=x\cosh (y)$. En substituant cela dans l’identité, nous obtenons :

Par conséquent, la dérivée de $\text{atanh}(x)$ est :

C.Q.F.D.