Dérivée de atan(x) - Démonstration et Explication

Démonstration

Nous voulons trouver la dérivée de $\arctan (x)$ . Soit $y = \arctan (x)$ . Alors, par définition, $x = \tan (y)$ .

Prenons la dérivée des deux côtés par rapport à $x$ :

\frac{d}{d x} (x) = \frac{d}{d x} (\tan (y))

1 = \sec^{2} (y) \cdot \frac{d y}{d x}

Maintenant, nous résolvons pour $\frac{d y}{d x}$ :

\frac{d y}{d x} = \frac{1}{\sec^{2} (y)}

En utilisant l’identité $\sec^{2} (y) = 1 + \tan^{2} (y)$ et sachant que $\tan (y) = x$ :

\frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 + x^{2}}

Ainsi, la dérivée de $\arctan (x)$ est :

\frac{d}{d x} \arctan (x) = \frac{1}{1 + x^{2}}

Explication

Pour trouver la dérivée de $\arctan (x)$ , nous commençons par poser $y = \arctan (x)$ . Cela signifie que $x = \tan (y)$ , représentant l’angle dont la tangente est $x$ .

Ensuite, nous dérivons les deux côtés de l’équation $x = \tan (y)$ par rapport à $x$ . La dérivée de $x$ par rapport à $x$ est simplement $1$ .

Du côté droit, la dérivée de $\tan (y)$ par rapport à $y$ est $\sec^{2} (y)$ , et selon la règle de la chaîne, nous multiplions par $\frac{d y}{d x}$ , ce qui nous donne $\sec^{2} (y) \cdot \frac{d y}{d x}$ .

En égalant les dérivées, nous obtenons :

1 = \sec^{2} (y) \cdot \frac{d y}{d x}

Nous résolvons ensuite pour $\frac{d y}{d x}$ en divisant les deux côtés par $\sec^{2} (y)$ :

\frac{d y}{d x} = \frac{1}{\sec^{2} (y)}

Nous utilisons l’identité trigonométrique $\sec^{2} (y) = 1 + \tan^{2} (y)$ . Puisque $\tan (y) = x$ (d’après notre définition précédente), nous remplaçons $x$ par $\tan (y)$ :

\sec^{2} (y) = 1 + x^{2}

Ainsi, l’expression pour la dérivée se simplifie à :

\frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 + x^{2}}

C.Q.F.D.