Dérivée de asinh(x) - Démonstration et Explication

Démonstration

Nous commençons par définir $y = asinh (x)$ . Par définition, la fonction sinus hyperbolique inverse signifie :

x = \sinh (y)

où $\sinh (y) = \frac{e^{y} - e^{- y}}{2}$ .

Pour trouver la dérivée de $asinh (x)$ , nous différencions d’abord implicitement $x = \sinh (y)$ par rapport à $x$ :

1 = \cosh (y) \frac{d y}{d x}

Ici, $\cosh (y)$ est la fonction cosinus hyperbolique, qui est définie comme suit :

\cosh (y) = \frac{e^{y} + e^{- y}}{2}

En réarrangeant pour $\frac{d y}{d x}$ , nous obtenons :

\frac{d y}{d x} = \frac{1}{\cosh (y)}

Nous devons maintenant exprimer $\cosh (y)$ en termes de $x$ . En utilisant l’identité $\cosh^{2} (y) - \sinh^{2} (y) = 1$ , nous obtenons :

\cosh^{2} (y) = 1 + \sinh^{2} (y)

Comme $\sinh (y) = x$ , cela devient :

\cosh^{2} (y) = 1 + x^{2}

Ainsi, $\cosh (y) = \sqrt{1 + x^{2}}$ . En substituant cela dans l’expression de $\frac{d y}{d x}$ , nous obtenons :

\frac{d y}{d x} = \frac{1}{\sqrt{1 + x^{2}}}

Ainsi, la dérivée de $asinh (x)$ est :

\frac{d}{d x} asinh (x) = \frac{1}{\sqrt{1 + x^{2}}}

Explication

Pour comprendre cette dérivée, nous reconnaissons d’abord que $asinh (x)$ est la fonction sinus hyperbolique inverse, ce qui signifie que si $y = asinh (x)$ , alors $x = \sinh (y)$ . La fonction sinus hyperbolique $\sinh (y)$ est définie comme $\frac{e^{y} - e^{- y}}{2}$ .

Pour trouver la dérivée de $asinh (x)$ , nous différencions l’équation $x = \sinh (y)$ implicitement par rapport à $x$ . En différenciant les deux côtés, nous obtenons $1 = \cosh (y) \frac{d y}{d x}$ , où $\cosh (y)$ est la fonction cosinus hyperbolique définie comme $\frac{e^{y} + e^{- y}}{2}$ .

En résolvant pour $\frac{d y}{d x}$ , nous avons $\frac{d y}{d x} = \frac{1}{\cosh (y)}$ . Ensuite, nous devons exprimer $\cosh (y)$ en termes de $x$ . En utilisant l’identité $\cosh^{2} (y) - \sinh^{2} (y) = 1$ , nous substituons $\sinh (y) = x$ , ce qui donne $\cosh^{2} (y) = 1 + x^{2}$ . Cela signifie que $\cosh (y) = \sqrt{1 + x^{2}}$ .

En substituant $\cosh (y) = \sqrt{1 + x^{2}}$ dans notre expression pour $\frac{d y}{d x}$ , nous trouvons $\frac{d y}{d x} = \frac{1}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ . Par conséquent, la dérivée de $asinh (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ .

C.Q.F.D.