Dérivée de asin(x) - Démonstration et Explication

Pour trouver la dérivée de arcsin(x), nous commençons par poser :

y=arcsin(x)

Cela implique que :

sin(y)=x

Étape 1 : Différencier les deux côtés

En différenciant sin(y)=x par rapport à x, nous appliquons la différentiation implicite :

cos(y)dydx=1

Ici, cos(y) est la dérivée de sin(y) par rapport à y, et dydx est la dérivée de y par rapport à x.

Étape 2 : Résoudre pour dydx

Réorganiser l’équation pour résoudre la dérivée :

dydx=1cos(y)

Étape 3 : Exprimer cos(y) en termes de x

Nous utilisons l’identité pythagoricienne :

cos2(y)=1sin2(y)

En prenant la racine carrée:

cos(y)=1sin2(y)

Puisque sin(y)=x, nous substituons :

cos(y)=1x2

Étape 4 : Dérivée finale

En substituant cos(y) dans l’expression de dydx :

dydx=11x2

Par conséquent, la dérivée de arcsin(x) est :

11x2

C.Q.F.D.