Dérivée de acosh(x) - Démonstration et Explication

Démonstration

1. Définition de $\text{acosh}(x)$ :

   $$y=\text{acosh}(x)⟹x=\cosh (y)$$

   où $\cosh (y)=\frac{e^y+e^{-y}}{2}$.

2. Dériver les deux côtés par rapport à $x$ :

   $$\frac{\text{d}}{\text{d}x}x=\frac{\text{d}}{\text{d}x}\cosh (y)$$

3. En utilisant la règle de la chaîne du côté droit :

   $$1=\sinh (y)·\frac{dy}{dx}$$

   où $\sinh (y)=\frac{e^y-e^{-y}}{2}$.

4. Résoudre pour $\frac{dy}{dx}$ :

   $$\frac{dy}{dx}=\frac{1}{\sinh (y)}$$

5. Exprimer $\sinh (y)$ en termes de $x$ :

   $${\cosh }^2(y)-1={\sinh }^2(y)$$

   Puisque $x=\cosh (y)$,

   $${\sinh }^2(y)=x^2-1⟹\sinh (y)=\sqrt{x^2-1}$$

6. Remplacer dans la dérivée :

   $$\frac{dy}{dx}=\frac{1}{\sqrt{x^2-1}}$$

Ainsi, la dérivée de $\text{acosh}(x)$ est :

Explication

Pour comprendre la dérivée de $\text{acosh}(x)$, nous devons d’abord comprendre la fonction elle-même. La fonction cosinus hyperbolique inverse, $\text{acosh}(x)$, est définie comme l’inverse de la fonction cosinus hyperbolique, $\cosh (y)$. Cela signifie que si $y=\text{acosh}(x)$, alors $x=\cosh (y)$, où $\cosh (y)=\frac{e^y+e^{-y}}{2}$.

Pour trouver la dérivée de $\text{acosh}(x)$, nous commençons par dériver les deux côtés de l’équation $x=\cosh (y)$ par rapport à $x$. Cela nous donne :

En utilisant la règle de la chaîne, la dérivée de $\cosh (y)$ par rapport à $x$ est $\sinh (y)·\frac{dy}{dx}$, où $\sinh (y)=\frac{e^y-e^{-y}}{2}$. Donc nous avons :

Ensuite, nous résolvons pour $\frac{dy}{dx}$ :

Pour exprimer $\sinh (y)$ en termes de $x$, nous utilisons l’identité ${\cosh }^2(y)-1={\sinh }^2(y)$. Puisque $x=\cosh (y)$, nous substituons $\cosh (y)$ par $x$ pour obtenir :

En prenant la racine carrée, nous trouvons :

Enfin, nous substituons $\sinh (y)$ dans la dérivée :

Par conséquent, la dérivée de $\text{acosh}(x)$ par rapport à $x$ est $\boxed{\frac{1}{\sqrt{x^2-1}}}$.

C.Q.F.D.