Dérivée de acos(x) - Démonstration et Explication

Pour trouver la dérivée de $\arccos (x)$, nous commençons par poser :

Cela signifie que $y$ est l’angle dont le cosinus est $x$. En d’autres termes, nous avons :

Étape 1 : Différencier les deux côtés

Nous différencions les deux côtés de cette équation par rapport à $x$. Le côté gauche devient simplement $1$. Pour le côté droit, en utilisant la règle de la chaîne :

Ainsi, l’équation devient :

Étape 2 : Résoudre pour $\frac{dy}{dx}$

En réarrangeant l’équation pour résoudre $\frac{dy}{dx}$ :

Étape 3 : Exprimer $\sin (y)$ en termes de $x$

En utilisant l’identité pythagoricienne :

Nous pouvons exprimer $\sin (y)$ comme :

Étape 4 : Substituer $\sin (y)$ dans la dérivée

En substituant ceci dans notre expression pour $\frac{dy}{dx}$ :

Ainsi, la dérivée de $\arccos (x)$ est :

C.Q.F.D.