Démonstration
Nous commençons par définir la fonction valeur absolue, , comme une fonction définie par morceaux :
Pour trouver la dérivée, nous dérivons chaque morceau séparément :
Pour :
Pour :
En combinant ces résultats, nous obtenons :
À , la fonction est continue, mais sa dérivée n’est pas définie car la limite à gauche () et la limite à droite () ne sont pas égales.
Une autre façon d’exprimer la dérivée de est d’utiliser la fonction . Cette fonction est définie comme suit :
Ainsi, la dérivée de est :
Explication
Pour comprendre la dérivée de la fonction valeur absolue , décomposons-la étape par étape.
La fonction valeur absolue est définie différemment pour les valeurs positives et négatives de . Plus précisément :
Cela signifie que pour toute valeur non négative de (y compris zéro), est simplement , et pour toute valeur négative de , est .
Pour trouver la dérivée de , nous devons considérer ces deux cas séparément :
Lorsque , la fonction est égale à . La dérivée de par rapport à est .
Lorsque , la fonction est égale à . La dérivée de par rapport à est .
En combinant ces deux résultats, nous obtenons :
À , la situation est différente. La fonction est continue à , mais sa dérivée n’est pas définie. Cela est dû au fait que la limite à gauche de la dérivée lorsque approche 0 du côté négatif est , et la limite à droite lorsque approche 0 du côté positif est . Étant donné que ces deux limites ne sont pas égales, la dérivée en n’existe pas.
Une autre façon d’exprimer cette dérivée plus succinctement est d’utiliser la fonction . Cette fonction nous donne le signe de :
À , cette expression n’est pas définie car nous ne pouvons pas diviser par zéro. Par conséquent, la dérivée de peut être écrite comme suit :
Ainsi, la dérivée de la fonction valeur absolue est , ce qui est pour positif, pour négatif, et non définie à .
C.Q.F.D.