Regla del Múltiplo Constante en Diferenciación

La Regla del Múltiplo Constante, también conocida como la Regla del Coeficiente Constante, es una regla en cálculo utilizada para diferenciar funciones que están multiplicadas por una constante. Esta regla simplifica el proceso de encontrar derivadas para funciones que involucran múltiplos constantes. La Regla del Múltiplo Constante establece que la derivada de una constante por una función es igual a la constante por la derivada de la función.

Entendimiento Intuitivo de la Regla del Múltiplo Constante

Para entender la Regla del Múltiplo Constante intuitivamente, considere el siguiente ejemplo. Sea $f(x)=x^2$ (trazado en naranja abajo), y multipliquemos esta función por una constante $c=3$ para obtener $c·g(x)=3·(x^2)=3x^2$ (en azul abajo).

Si pensamos en el gráfico de $g(x)$, tendrá la misma forma que el gráfico de $f(x)$, pero se estirará verticalmente por un factor de 3. Esto significa que para cualquier cambio en $x$, el cambio en $g(x)$ será 3 veces el cambio en $f(x)$.

Ahora, recuerde que la derivada de una función en un punto es la pendiente de la línea tangente al gráfico de la función en ese punto. Dado que el gráfico de $g(x)$ se estira verticalmente por un factor de 3, la pendiente de la línea tangente a $g(x)$ en cualquier punto será 3 veces la pendiente de la línea tangente a $f(x)$ en el punto correspondiente.

Por lo tanto, la derivada de $g(x)$ será 3 veces la derivada de $f(x)$, que es exactamente lo que establece la Regla del Múltiplo Constante.

Pasos para Aplicar la Regla del Múltiplo Constante

1. Identificar el coeficiente constante: Determine la constante $c$ que está multiplicando la función $f(x)$.

2. Encontrar la derivada de la función interna: Calcule $\frac{\text{d}}{\text{d}x}(f(x))$, que es la derivada de la función que está siendo multiplicada por la constante.

3. Multiplicar la constante y la derivada: Multiplique la constante $c$ del paso 1 y la derivada $\frac{\text{d}}{\text{d}x}(f(x))$ del paso 2 para obtener el resultado final.

Demostración de la Regla del Múltiplo Constante

Para demostrar la Regla del Múltiplo Constante, podemos usar la definición de la derivada:

Paso 1: Sustituir $g(x)=cf(x)$ en la definición de la derivada.

Paso 2: Factorizar la constante $c$.

Paso 3: Reconocer que ${lim}_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=f^{\prime }(x)$, que es la definición de la derivada de $f(x)$.

Por lo tanto, hemos demostrado que la derivada de una constante por una función es igual a la constante por la derivada de la función.

Ejemplos

1. Encontrar la derivada de $f(x)=3x^2+5x$.

   Usando la Regla del Múltiplo Constante y la Regla del Exponente, obtenemos:

   $$f^{\prime }(x)=3·\frac{\text{d}}{\text{d}x}(x^2)+5·\frac{\text{d}}{\text{d}x}(x)=3·2x+5·1=6x+5$$

2. Encontrar la derivada de $g(x)=-2\sin (x)$.

   Usando la Regla del Múltiplo Constante y la derivada del seno, obtenemos:

   $$g^{\prime }(x)=-2·\frac{\text{d}}{\text{d}x}(\sin (x))=-2·\cos (x)$$

3. La posición de una partícula está dada por la función $s(t)=4t^3-2t$, donde $s$ se mide en metros y $t$ se mide en segundos. Encuentre la velocidad y la aceleración de la partícula en el tiempo $t$.

   Para encontrar la velocidad, tomamos la derivada de la función de posición usando la Regla del Múltiplo Constante y la Regla del Exponente:

   $$v(t)=s^{\prime }(t)=4·\frac{\text{d}}{\text{d}t}(t^3)-2·\frac{\text{d}}{\text{d}t}(t)=4·3t^2-2·1=12t^2-2$$

   Para encontrar la aceleración, tomamos la derivada de la función de velocidad:

   $$a(t)=v^{\prime }(t)=12·\frac{\text{d}}{\text{d}t}(t^2)=12·2t=24t$$

   Por lo tanto, la velocidad de la partícula es $v(t)=12t^2-2$ metros por segundo, y su aceleración es $a(t)=24t$ metros por segundo cuadrado.

4. Encontrar la función de costo marginal si la función de costo total está dada por $C(x)=100x+500$, donde $C(x)$ es el costo total en dólares y $x$ es el número de unidades producidas.

   La función de costo marginal es la derivada de la función de costo total. Usando la Regla del Múltiplo Constante, obtenemos:

   $$MC(x)=C^{\prime }(x)=100·\frac{\text{d}}{\text{d}x}(x)+500·\frac{\text{d}}{\text{d}x}(1)=100·1+500·0=100$$

   Por lo tanto, el costo marginal es constante a $100porunidad.</p></li><li><p>Resolverlaecuacióndiferencial$y'' - 4y' + 4y = 0$.</p><p>Estaesunaecuacióndiferenciallinealdesegundoordenconcoeficientesconstantes.Pararesolverla,primeroencontramoslaecuacióncaracterísticareemplazando$y''$con$r^2$,$y'$con$r$,y$y$con$1$:</p><mathxmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"display="block"><mrow><msup><mi>r</mi><mn>2</mn></msup><mo>\&\#x02212;</mo><mn>4</mn><mi>r</mi><mo>\&\#x0002B;</mo><mn>4</mn><mo>\&\#x0003D;</mo><mn>0</mn></mrow></math><p>Factorizandoestaecuación,obtenemos:</p><mathxmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"display="block"><mrow><mostretchy="false">\&\#x00028;</mo><mi>r</mi><mo>\&\#x02212;</mo><mn>2</mn><msup><mostretchy="false">\&\#x00029;</mo><mn>2</mn></msup><mo>\&\#x0003D;</mo><mn>0</mn></mrow></math><p>Porlotanto,laecuacióncaracterísticatieneunaraízdobleen$r = 2$.Estosignificaquelasolucióngeneralalaecuacióndiferenciales:</p><mathxmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"display="block"><mrow><mi>y</mi><mostretchy="false">\&\#x00028;</mo><mi>x</mi><mostretchy="false">\&\#x00029;</mo><mo>\&\#x0003D;</mo><mostretchy="false">\&\#x00028;</mo><msub><mi>C</mi><mn>1</mn></msub><mo>\&\#x0002B;</mo><msub><mi>C</mi><mn>2</mn></msub><mi>x</mi><mostretchy="false">\&\#x00029;</mo><msup><mi>e</mi><mrow><mn>2</mn><mi>x</mi></mrow></msup></mrow></math><p>donde$C_1$y$C